Frage von sophyste, 20

Warum kann eine Funktion 4. Grades einen Sattelpunkt und einen Extrempunkt haben?

Wir besprechen gerade die Eigenschaften von Funktionen 4. Grades.

Was ich bereits weiß ist, dass die Funktion maximal 4 Nullstellen haben kann und 3 Extrempunkte. Erklärung: Der höchste Exponent gibt die maximale Anzahl an Nullstellen an. Dieser Exponent wird bei der Ableitung -1 gerechnet und da die Extremstellen die Nullstellen der Ableitung sind, kann es maximal eine Extremstelle weniger als der höchste Exponent geben.

So, meine Frage lautet also: Da man Sattelstellen häufig auch als Extremstellen bezeichnet (obwohl das nicht ganz korrekt ist), da diese auch die Steigung 0 haben, warum sind dann Funktionen mit einem Sattelpunkt und einer Hoch- oder Tiefpunkt auch Funktionen 4. Grades und nicht z.B. 3. Grades? Ersetzt ein Sattelpunkt sozusagen 2 Extrempunkte?

Antwort
von ghul666, 12

Es geht nur darum, wie viele Punkte es maximal sind.

x^4 z.B. hat nur einen Extrempunkt und keine Wendepunkte.

Kommentar von sophyste ,

Kann eine Funktion mit einem Sattelpunkt und einem Extrempunkt dann auch genauso gut eine Funktion 3. Grades sein? Funktionen 3. Grades sehe ich nämlich meist nur mit einem Sattelpunkt und keinen weiteren Extrempunkten..

Wir sollen in der Klausur nämlich auch Funktionsgleichungen den Graphen zuordnen, ohne irgendwas zu berechnen und ohne Werte an der x- und y-Achse. Ich weiß nicht wie dies gehen soll, da auch nur Ausschnitte des Graphen gezeigt werden können, so dass ein Graph 4. Grades wie eine Parabel aussieht etc.

Kommentar von ghul666 ,

Nein, der Sattelpunkt zählt quasi doppelt.

Also kann eine Funktion 3. Grades entweder 1 Sattelpunkt, aber keine Extremstellen haben, oder bis zu 2 Extremstellen, aber keinen Sattelpunkt.

Kommentar von sophyste ,

Diese Vermutung hatte ich ja ganz zum Schluss geäußert, jedoch frage ich mich wieso das so ist. Also warum zählt ein Sattelpunkt doppelt? Hat es damit zu tun, dass bei einem Sattelpunkt zusätzlich noch das Kriterium f"(x)=0 gilt? Dann würde sich ja der höchste Exponent auf 2 verkleinern, also 2 Nullstellen, und somit nur noch eine weitere Extremstelle.. macht das überhaupt ansatzweise Sinn? :D

Kommentar von ghul666 ,

Genau so ist es.

Kommentar von sophyste ,

Danke für deine Hilfe!

Kommentar von ghul666 ,

Kein Ding.

Kommentar von ghul666 ,

Bei der Bestimmung der Graphen gibt es dann immer sichere Hinweise, welcher Graph zu welcher Funktionsgleichung gehört.

Kommentar von sophyste ,

Welche Hinweise denn? Das Einzige auf was ich mich verlassen könnte wäre ja dass der Graph z.B. durch den Ursprung geht. Ob er noch weitere Extremstellen, Nullstellen oder andere Anhaltspunkte besitzt weiß man ja nicht, oder?

Kommentar von ghul666 ,

Ich kenn ja jetzt nicht die Graphen und Funktionen.

Aber wenn es Unklarheiten z.B. zwischen zwei der Möglichkeiten gibt, dann gibt es auch immer irgendwo ein Ausschlusskriterium warum es der eine doch nicht sein kann.

Kommentar von sophyste ,

Hm leider habe ich auch keine Aufgabe dazu, da wir keine im Unterricht besprochen haben und ich im Buch & im Internet nicht fündig werde..

Ich kann mir einfach nicht vorstellen, dass nur 2 Kriterien (geht durch der Ursprung ja oder nein & Symmetrie, welche man auch nur grob einschätzen kann), ausreicht ..

Würden dir noch andere Kriterien einfallen?

Kommentar von ghul666 ,

Zum Beispiel, ja

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