Warum ist x/(x^2+1) = (1/x)*(1/((1/x^2)+1))?

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3 Antworten

Folgende sind wahre Aussagen -->

c / (a + b) = c / a - (c * b / a) * 1 / (a + b)

x ^ n / ( x ^ (-n) + 1) = x ^ (2 * n) / (x ^ n + 1)

1 / (x ^ n) = x ^ (-n)

x ^ a + x ^ b / (x ^ c + 1) = (x ^ (a + c) + x ^ a + x ^ b) / (x ^ c + 1)


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1 / (x ^ (-2) + 1) = x ^ 2 - x ^ 2 * 1 / (x ^ (-2) + 1)

x ^ 2 - x ^ 2 * 1 / (x ^ (-2) + 1)  = x ^ 2 - x ^ 4 / (x ^ 2 + 1)

Deshalb ist folgendes auch eine wahre Aussage -->

(1 / x) * 1 / (x ^ (-2) + 1) = (1 / x) * (x ^ 2 - x ^ 4 / (x ^ 2 + 1))

(1 / x) * (x ^ 2 - x ^ 4 / (x ^ 2 + 1)) = x - x ^ 3 / (x ^ 2 + 1)

Siehe oben -->

x - x ^ 3 / (x ^ 2 + 1) = (x ^ 3 + x - x ^ 3) / (x ^ 2 + 1)

(x ^ 3 + x - x ^ 3) / (x ^ 2 + 1) = x / (x ^ 2 + 1)

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Kommentar von precursor
26.11.2016, 11:53

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Klammer x² im Nenner aus und kürze dann x; dann auseinanderziehen:
x/(x²(1+1/x²))  = 1/(x(1/x²+1)) = 1/x * 1/(1/x²+1)

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Forme den zweiten Term einmal um.

1/x(1/x²+1)

Dann hast du im Ergebnis 1 / ( 1/x + x)

Dieses Ergebnis erweiterst du jetzt mit x dann erhältst du

x / ( x / x + x * x) -> Das ist dein erster Term

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