Frage von ITanfaenger93, 21

Warum ist folgendes Integral falsch sinh(x)*cosh(x)?

ich würde dies über Subsitution lösen u = sinh(x) u´ = cosh(x)

I = u * cosh(x) du/cosh(x) | cosh kürzt sich

I= sinh(x) du = [sinh(x)]

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 9

Aus den Mathe-Formelbuch "Hyperbelfunktion"

sinh(x) * cosh(y)= 1/2 * ( sinh(x+y) +sinh(x-y)) hier

sinh(x) *cosh(x)= 1/2 * ( sinh(x+x)+sinh(x-x))= 1/2 *sinh(2 *x)

y= sinh(x)= (e^x -e^(-x))/2 mit x=0 ergibt sich e^0 - e^(-0))/2= 0/2=0

Integral ( sinh(x) *cosh(x) *dx= Int. 1/2 * sinh(2*x) dx

Substitution Z= 2*x  abgeleitet z´= dz/dx= 2 ergibt dx= dz/2

eingesetzt  ....= 1/2 *Int sinh(z) * dz/2= 1/4 * Int sinh(z) *dz

ergibt F(x)= 1/4 *cosh( 2*x) + C

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe, 13

Du musst über die partielle Integration gehen:

Int(f'(x) * g(x))=f(x) * g(x) - Int(f(x) * g'(x))

f'(x)=sinh(x) => f(x)=cosh(x)
g(x)=cosh(x) => g'(x)=sinh(x)

in die Formel einsetzen:

Int(sinh(x) * cosh(x)) = cosh(x) * cosh(x) - Int(cosh(x) * sinh(x))

Rechts steht das gleiche Integral wie links, also rechne + Int(...)

=> 2* Int(sinh(x) * cosh(x)) = cosh²(x)     |:2
=> Int(sinh(x) * cosh(x)) = cosh²(x)/2

Kommentar von ITanfaenger93 ,

Danke für die Erklärung. Aber warum nicht subsitution? Cos ist doch die Ableitung von sin?

Kommentar von Rhenane ,

Das mit der Substitution funktioniert nur bei Funktionen, die quasi noch eine innere Funktion enthalten, die abgelteitet werden muss, z. B. f(x)=cos(2x). Hier hast Du als äußere Funktion den cos und als innere Funktion 2x. Diese 2x substituierst Du dann.

In Deiner Aufgabe hast Du es mit der Multiplikation von 2 Funktionen zu tun, sinh(x) und cosh(x). Also musst Du die partielle Integration verwenden.

Kommentar von ELLo1997 ,

Mit Substitution gehts schneller ;-)

Kommentar von Rhenane ,

Hast natürlich recht Ello1997. Denke da mit "meiner partiellen Integration" was engstirnig :)

Kommentar von Rhenane ,

@ITanfaenger 93: Ello hat ja schon in seiner Antwort Deinen Sunstitutionsgedanken zu Ende geführt. Habs nicht gesehen/drüber nachgedacht, weil ich wohl "partielle Integration-gesteuert" bin...

Kommentar von Australia23 ,

Ich vervollständige mal noch ELLo's Idee (bitte korrigiert, falls ich daneben liege):

I u du = u^2/2 -> rücksubstituieren mit  u = sinh(x) 

-> I ... = sinh(x)^2/2

Die korrekte Lösung wäre jedoch cosh(x)^2/2...

Kommentar von ELLo1997 ,

Ich dachte schon jetz hast du mich aber cosh²x/2 und sinh²x/2 unterscheiden sich nur durch eine additive Konstante. Das heißt, beide sind Lösungen des unbestimmten Integrals. ;-)

Kommentar von Australia23 ,

Danke, hab ich nicht gesehen!

Antwort
von Roach5, 9

Deine Substitution war schon richtig, aber du hast sie nicht richtig zuende gerechnet.

∫sinh(x)cosh(x)dx.

u = sinh(x), du = cosh(x)dx

= ∫u du = 1/2 u² + c = 1/2 * sinh(x)² + c.

LG

Antwort
von ELLo1997, 11

Die Substitution ist gut, jedoch musst du dann I =  ∫u du lösen, was u²/2 ergibt. Dann noch rücksubstituieren.

Antwort
von Australia23, 10

Substitution kannst du bei verketteten Funktionen verwenden, also bei f(u(x)). Hier hast du eine Multiplikation zweier Funktionen: f(x)*g(x). Da geht das nicht auf...

Die Regel: I [a,b] f(u(x)) * u'(x) dx = I [u(a),u(b)] f(u) du

-> Die Ableitung der inneren Funktion muss mit der Verkettung multipliziert stehen (ist ja sozusagen die Kettenregel "rückwärts").

Kommentar von ELLo1997 ,

Warum sollte man nur verkettete Funktionen substituieren können?

Kommentar von Australia23 ,

Wie gesagt: Du kannst dir die Substitution als Kettenregel "rückwärts" vorstellen.

[ f(u(x)) ] ' = f ' (u(x)) * u ' (x)  <-> I f ' (u(x)) * u ' (x) dx = f(u(x))

Bsp.: [sin(x^2)] '  = cos(x^2)*2x  <-> I cos(x^2)*2x dx = sin(x^2)

Bei einer Multiplikation zweier Funktionen besteht dieser Zusammenhang nicht...

Kommentar von ELLo1997 ,

Ich denke man kann diese Regel sehr wohl anwenden:
Sei f(x) = x (also die Funktion, die ausgibt was sie bekommt) die äußere Funktion und u(x) = sinhx die innere.
Dann ist  ∫f(u(x)) * u'(x) dx =   ∫ sinhx * coshx dx =   ∫u du.

Kommentar von Australia23 ,

Achso, jetzt hab verstanden wie du das meinst, deine Notation ist einfach etwas "unsauber":

Ganz korrekt müsste das ja heissen: I f(u(x)) * u'(x) dx = I f(u) du
Nicht: ... = I u du

Da hier f(u)=u, stimmt das dann doch wieder, aber man muss es sich für die Integration "merken", also dass u=f(u) gemeint ist und nicht u=u(x). Daher geht die Formulierung mathematisch noch nicht ganz auf...

Aber von der Idee her klappt das dann schon ^^

Kommentar von ELLo1997 ,

In der Formel steht doch f(u) du und nicht f(u(x)) du, also warum sollte man u(x) meinen
Nichtsdestotrotz danke für deine konstruktiven Kritiken ;-)

Kommentar von Australia23 ,

Eine allgemeine Funktion f(u) kannst du ja nicht einfach "als solche" integrieren. Also I f(u) du =/= 1/2 f(u) ^2. (Ausgenommen wenn f(u)=u, dann funktioniert das, aber "allgemein" gesehen ist es nicht korrekt.)

Daher setzt du für f(u) eben die Funktion ein, welche durch sie definiert wird.

In diesem Bsp. ist f(u)=u, also setzt du u ein: I u du

Du hast aber definiert u(x) = sinh(x)

Daher musst du dir hier "merken" dass nicht sinh(x) sondern "u" gemeint ist.

Wenn f(u) =/= u, hast du dieses Problem nicht...

Kommentar von ELLo1997 ,

Ja ich habe nur deshalb gleich eingesetzt, damit man sieht, dass das gleiche rauskommt, wie ich in meiner Antwort gesagt habe.

Kommentar von Australia23 ,

Worauf ich eigentlich raus möchte:

Mir fällt keine mathematisch korrekte Formulierung für diese Anwendung ein. Aber es "klappt" trotzdem (dank des zusätzlichen Wissens, das du hast, aber so nicht aufs Blatt bringen kannst). Finde ich noch interessant... ^^

Oder kennst du eine mathematisch korrekte Formulierung für diese Methode?

Kommentar von ELLo1997 ,

Was ist denn an meiner Formulierung nicht korrekt?^^

Kommentar von Australia23 ,

Du definierst:

f(u) = u
u(x) = sinh(x) -> u'(x)=cosh(x)

Also:

I sinh(x) * cosh(x) dx = I f(u(x)) * u'(x) = I f(u) du

Nun kannst du den Term "I f(u) du" verschieden "interpretieren":

1. I f(u) du = I sinh(x) du = cosh(x)

    Denn f(u) = u = sinh(x)
    -> Diese Variante würde ein Rechner wählen...

2. I f(u) du = I u du = 1/2 u^2 ...

    Da du weisst, dass hier u integriert werden soll, nicht sinh(x)

Es klappt also nur, da du weisst, wie "f(u)" in dieser Situation interpretiert werden soll...

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