Frage von x0Milly0x, 69

warum ist es nicht sinnvoll die pq-forml anzuwenden, wenn die quadratische gleichung nicht mit der allgemeinen form übereinstimmt?

z.b f(x)= x^2-196 oder f(x)= 4x^2-8x

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 24

Die pq-Formel sollte grundsätzlich nur bei einer Gleichung der folgenden Form angewendet werden:

f(x) = x² + px + q

p, q ≠ 0

Liegt eine der folgenden Gleichungen vor, sollte ein anderes Lösungsverfahren gewählt werden:

g(x) = x² + px oder h(x) = x² + q

Bei g(x) ist der Satz des Nullprodukts sinnvoll:

"Ein Produkt wird null, wenn mindestens einer der Faktoren null wird."

Durch Ausklammern können wir die Summe in ein Produkt verwandeln:

0 = x² + px = x(x + p)

Also muss entweder x oder x + p null werden. Somit liegen die Nullstellen der besagten Funktion bei 0 und -p.

Bei h(x) ist die Lösung denkbar einfach. Durch Äquivalenzumformungen kann einfach nach x aufgelöst werden:

0 = x² + q ⇔ x = ±√-q

Jetzt stellt sich natürlich berechtigterweise die Frage, ob man die Wurzel aus -q ziehen darf, da Wurzeln aus negativen Zahlen ja reell nicht definiert sind.

Die Antwort ist: Ja, darf man. Aber nur, wenn q ≤ 0. Denn nur dann hebt sich das Minus unter der Wurzel auf und der Radikant wird positiv.

Das kannst du dir auch einfach veranschaulichen:

Das Absolutglied, also die Zahl, die alleine steht, verschiebt die Parabel nach oben (>0) oder nach unten (<0). Wenn die Parabel nach oben verschoben wird, liegt der Scheitelpunkt über der x-Achse und somit ist schneidet die Parabel die x-Achse nie. Wenn die Parabel jedoch nach unten verschoben wird, liegt der Scheitelpunkt verständlicherweise unter der x-Achse und somit schneidet sie die x-Achse in zwei Punkten.

(Für Klugscheißer: Dies gilt nur in der normierten Form der Parabelgleichung)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi

Kommentar von x0Milly0x ,

und nochmal, danke für eine sehr hilfreiche antwort :D

Kommentar von Willibergi ,

Gern geschehen! ^^

LG Willibergi

Antwort
von PhotonX, 29

Dann gibt es einfachere Lösungsmethoden. In deinem ersten Beispiel kann man direkt nach x auflösen, im zweiten kann man x ausklammern und verwenden, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn mindestens einer seiner Faktoren Null ist. Also folgt aus

0 = 4x^2 - 8x = x(4x-8)

dass entweder x=0 oder 4x-8=0. Die Nullstellen wären also 0 und 2.

Antwort
von Physikus137, 34

Im ersten Fall ist das möglich, aber mit unnötiger Schreibarbeit:

x² - 196 = 0 → x = - 0/2 ± √(0²/2² + 196) = √196

Im zweiten Beispiel bekommst du schlichtweg ein falsches Ergebnis, wenn du den Faktor vor dem quadratischen Term ignorierst. Die Voraussetzung für die pq-Formel ist, dass der quadratische Term keinen anderen Faktor als 1 enthält.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 19

Die p,q-Formel ist nicht eine Formel, sondern ein Gebilde aus 2 Gleichungen. Wenn die erste nicht gegeben ist, darf man die zweite nicht anwenden. Wenn man es dennoch tut, muss man eine Menge Vorsichtsmaßregeln beachten.

Normierte Form der quadratischen Gleichung:    x² + p x + q  =  0
Lösungsformel:                                                x₁,₂ = -p/2 ± √((p/2)² - q)

Das muss passen, und dagegen sollte man nicht verstoßen.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 28

weils anders schneller geht;

x² = 196

x = ± 14

und andere Gleichung siehe PhotonX

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 13

Weil es zu umständlich ist.

f(x)=x^2-196 ergibt x= +/- Wurzel(196) also viel einfacher

f(x)=4*x^2-8*x dividiert durch 4 ergibt

f(x)=0= x^2 - 4 * x

Dies ist die "gemischtquadratische Gleichung" mit q=0

0=x^2 +p * x Nullstellen bei x1= 0 und x2= - p

TIPP : besorge dir privat ein Mathe-Formelbuch aus einen Buchladen,wie den "Kuchling". Da brauchst du nur abschreiben.

Siehe auch "Lösbarkeitsregeln" im Mathe-Formelbuch und den Satz von 

"Vieta" : x1 +x2= - p und x1 * x2=q

Antwort
von Naydoult, 16

Zumal geht es schneller, das wurde Dir ja bereits gezeigt. Ist Dir bewusst wie man die pq-Formel bewiesen/hergeleitet (entdeckt/erfunden) hat? Man stand vor der Aufgabe eine Gleichung der Form x²+px+q=0 zu lösen und löste mit Hilfe der quadratischen Ergänzung nach x auf. Es ergibt sich die pq-Formel beim richtigen herangehen.

Antwort
von Roach5, 20

Die pq-Formel und abc-Formel sind meistens einfach zu viel Arbeit. Bei der ersten Funktion sieht man sofort, dass die Nullstellen +-Wurzel(196) sind, und die zweite Funktion faktorisiert trivial in 4x(x-2), damit sind die Nullstellen auch klar.

Antwort
von UlrichNagel, 20

Es ist schon in beiden Fällen die allgemeine Form (Polynomform), nur dass bestimmte Glieder 0 sind! Damit ergibt sich eine einfachere Lösung! Die 1. mit der Wurzel und die 2. mit Ausklammern zu x1=0 und x2 wie seit der 3. Klasse!

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