Frage von Schmallle, 105

Warum ist eine Exponentialfunktion immer Positiv bzw. warum wird a < 0 nicht definiert?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Roach5, 63

Du meinst warum keine negativen Zahlen in der Basis stehen?

Du kennst ja aus der normalen Potenzrechnung, dass z.B. (-5)² einfach zwei mal (-5) miteinander multipliziert ergibt, und das ist mit 25 ein wohldefinierter (positiver) Wert. Wenn du jetzt allerdings (-5)³ suchst, dann ist das -125, ein negativer Wert! Du siehst also schon, dass sich die Exponentialfunktion anders verhält bei negativer Basis, indem sie jede ganze Zahl das Vorzeichen wechselt.

Noch schlimmer: Was ist (-5)^(2,5)? Ja das ist nach den Potenzgesetzen:

= (-5)² √(-5)

= 25 √5 i,

also sogar ein imaginärer Wert!

Immer, wenn dein Exponent nicht ganzzahlig ist, wirst du nach Vereinfachung irgendwo eine Wurzel haben, (-5)^x sollte also nach unseren Überlegungen für nicht-ganzzahlige x nicht einmal mehr reell sein und bei ganzzahligen x ganz komisch umherspringen.

Definieren kann man diese Funktion schon, aber du musst dir halt darüber im klaren sein, dass sie sich nicht so gut verhält wie positive Basen.

Durch unsere Rechengesetze bekommen wir einen schönen Ausdruck für (-a)^x, wir müssen nur einen Basiswechsel vollziehen und dann die Eulerformel benutzen und bekommen einen schönen Ausdruck:

(-a)^x = e^(x log(-a))

= e^(x (log|a| + πi))

= e^(log|a| x) e^(i πx)

= a^x(Cos(π x) + i Sin(πx)).

Mit diesem letzten Ausdruck lässt sich viel anfangen, das meine Behauptungen bestätigt. Wenn du dir die Nullstellen und Extremstellen des Cosinus und Sinus anschaust, siehst du, dass (-a)^x für ganzzahlige gerade x positiv ist, für ganzzahlige ungerade x negativ, dass das auch die einzigen komplett reellen Werte sind, und für nichtganzzahlige Vielfache von 1/2 (also Zahlen der Form k + 0,5) komplett imaginär, dass das auch die einzigen komplett Imaginären Werte sind, und alles dazwischen ein Mischmasch aus komplexen Zahlen ist. Da Cos(π x) + i Sin(π x) nach dem Satz des Pythagoras Betrag 1 hat, hat deine Funktion immerhin noch Betrag a^x, du bekommst also zum Glück noch die erträgliche Formel:

|(-a)^x| = a^x, die auch mit den Potenzgesetzen übereinstimmen.

Ich weiß nicht ob dir das so viel bedeutet wie mir, aber es ist manchmal echt schön zu sehen, dass die Mathematik einfach funktioniert und scheinbar nur aus Zufall alles zu den erwarteten Ergebnissen zusammenfällt.

LG

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 34

Stell dir die Funktion f(x) = a^x mal vor.
Bei x > 0 ist sie ja ganz gewiss positiv.
Bei x = 0 kommt 1 heraus. Sie passiert an der Stelle +1 die y-Achse.

Auf der anderen Seite ist x < 0.
Aus der Potenzrechnung weißt du, dass a^(-1) = 1/a und a^(-2) = 1/a² ist usw.

Das kann zwar sehr klein werden, ist aber immer noch ein Bruch, und damit bleibt der Funktionswert über Null. Über die x-Achse kommst du einfach nicht hinweg, wie du's auch anstellst.

Das ändert sich natürlich, wenn du f(x) = a^x - 1 nimmst. Aber das ist dann ja gewissermaßen nur ein Kunstgriff, denn diese Funktion wiederholt nur die bekannte Annäherung, aber jetzt bei y = -1.

Kommentar von Volens ,

Ich sehe gerade, dass ich wohl die falsche Frage beantwortet habe. Na, ja, stimmen tut's ja auch. Und andere waren ja schon schön fleißig mit Antworten.

Antwort
von MetallHyperon35, 55

Die Formel heißt ja b * a^x

Wenn du für a 0 oder ne Minus Zahl einsetzt geht das nicht.

Also : Wenn a größer 1 ist ist die Funktion Positiv und unter 1 negativ. 

Was bei 1 genau ist weiß ich jetzt auch nicht mehr, aber das steht sicher in deinem Buch. 

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