Frage von Dregoniz, 83

Warum ist ein Rechteck mit 1,5m x 1,5m größer als ein Rechteck mit 2m x 1m, obwohl beide denselben Umfang haben?

Grund unserer Überlegungen ist ein Hochbeet, was mit 1,5 m x 1,5m angedacht war. Da der nette Baumarkt nur 2m-Bretter hatte, wurde geschwind umgeplant, 0,5m auf der einen Seite weg und an die lange Seite angebaut. Gleicher Materialaufwand, aber weniger Schnitte erforderlich.

Nun ist das neue Beet 2m x 1m, und somit 0,25 m² kleiner, obwohl der Umfang (6m) bei Variante A und Variante B gleich bleiben.

Gibt es neben der Formel eine logische Erklärung dafür? Warum ist das so?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 23

Hallo,

der Umfang eines Rechtecks berechnet sich nach der Formel
U=2*(a+b), 
während sich der Flächeninhalt nach der Formel
A=a*b berechnet.

Wieso sollten sich die Ergebnisse zweier so unterschiedlicher Rechnungen in gleichem Maße verändern, wenn man für a und b jeweils in gleichem Maße veränderte Werte einsetzt?

Probieren wir es:

Multiplizieren wir a und b jeweils mit 3, so daß wir statt a und b 3 a und 3 b einsetzen.

Für den Umfang gilt dann:

U=2*(3a+3b)=6*(a+b). Der Umfang hat sich also versechsfacht.

Für die Fläche gilt:

A=3a*3b=9*a*b

Die Fläche hat sich also verneunfacht, ist also um ein Drittel mehr angestiegen als der Umfang. Addition und Multiplikation sind nun einmal unterschiedliche Rechenoperationen.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von AnglerAut, 49

Stell dir einmal vor, du hast ein Rechteck, das ist 2,99m lang und 1cm breit. Offensichtlich hat dieses Rechteck eine sehr geringe Fläche. Wenn du jetzt von 2,99m auf 2,98m gehst und dafür von 1cm auf 2cm, dann gewinnst du natürlich an Fläche. Weil der eine cm auf der einen Seite nur 1cm² ausmacht, wo du ihn wegnimmst, aber du 298cm² gewinnst, wo du die Breite erhöhst.

Das ganze wird solange mehr, wie die Seite, wo du den cm wegnimmst kürzer ist als die, wo du den cm dazu gibst. Daher kommt dann auch die Formel wonach bei gleichem Umfang das Quadrat die größte Fläche hat.

Und deswegen verkleinerst du immer die Fläche, wenn du dich bei gleichem Umfang weiter von der Form des Quadrates weg bewegst.

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathematik, 28

Was sind die Extrema? Ein Quadrat, dessen Seiten alle gleich lang sind ist am kompaktesten. Ein Rechteck, bei dem zwei Seiten fast so kurz sind, dass sie verschwinden, ist am längsten gestreckt.

Das Quadrat hat den Flächeninhalt a² = a * a und den Umfang 4a
Will man den Umfang gleich behalten, hat das gestreckte Rechteck ungefähr zwei lange Seiten mit 2a und zwei kurze Seiten mit 0,0000000000001. Dessen Flächeninhalt ist 2a * 0,0000000000001. Dadurch, dass man die kurze Seite gegen 0 laufen lässt, geht auch der Flächeninhalt gegen 0.

Das heißt, dass anzunehmen ist, dass je kompakter das Rechteck wird, desto größer wird der Flächeninhalt bei gleichem Umfang.

Kommentar von Suboptimierer ,

Du kannst da auch ein klassisches Optimierungsproblem raus machen. 

A = ab
U = 2a + 2b → b = (U-2a)/2
(geg.: U beliebig, fest)

  A(a) = a(U-2a)/2 = -a² + U/2 a
A'(a) = -2a + U/2
A''(a) = -2 < 0
   0 = -2a + U/2
2a = U/2
a = U/4
U = 4a (hier sieht man es eigentlich schon)

A(a) = -a² + (4a)/2 * a
 = -a² + 2a²
A(a) = a²
Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathematik, 11

Prinzipiell kann der Flächeninhalt A bei einem konstanten Umfang U stark variieren.

Optimalerweise (für den größten Flächeninhalt) müsste das Rechteck ein Quadrat sein (Seitenlänge √A).

Für den kleinsten Flächeninhalt müsste man zwei parallele Seitenlängen gegen 0 laufen lassen, dann beträgt der Flächeninhalt den Grenzwert gegen 0.

Mathematisch ausgedrückt für ein Rechteck mit den Seiten a und b:

Größter Flächeninhalt: a = b

Kleinster Flächeninhalt: a = 0, b = U/2

Dabei ist der Umfang äquivalent.

Die Flächeninhalte unterscheiden sich allerdings immens!

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi 

Antwort
von nutzer131, 20

Die logische Erklärung ist, dass weniger innere Fläche direkten Kontakt zur Umrandung hat.

Ein Schachbrett ist quadratisch und hat 8 * 8 = 64 Felder. Stell dir vor du baust einen Zaun um dieses Quadrat aus 64 Feldern. Dann befinden sich auf dem Schachbrett Felder, die die Zaun nicht berühren. Alle äußeren Felder berühren den Zaun aber.

Wenn man jetzt das Schachbrett umstrukturiert zu einem langen Schlauch, sodass man nur eine Reihe von 64 Feldern hat, dann berührt jedes Feld den Zaun mit 2 Seiten. Die an den Enden sogar mit 3 Seiten. Man braucht jetzt für jedes Feld mindestens 2 Feldlängen Zaun.

Die Gesamtfläche der Felder ist natürlich gleich geblieben, es sind ja immer noch 64 Felder.

Das heißt, wenn man mit einer Umrandung eine möglichst große Fläche einschließen will, dann muss man das so strukturieren, dass möglichst wenig Fläche die Umrandung berührt.

Bei einem Quadrat berührt weniger Fläche die Umrandung als bei einem Rechteck, wie das Beispiel mit dem Schachbrett verdeutlichen soll. Optimal ist das Verhältnis bei einem Kreis.

Antwort
von oetschai, 23

Nun... ihr habt es hier mit einer "Extremwert"-Aufgabe zu tun: Welche maximale Rechteckfläche ergibt sich bei gleich bleibendem Umfang?

Ohne jetzt auf die exakte Mathematik einzugehen (-> hier zu finden: https://de.wikipedia.org/wiki/Extremwert#Anwendungsbeispiel - ganz zufällig ist genau euer Rechteck-Problem angeführt...), sei behauptet, dass die gößte Fläche dann erzielt wird, wenn die Seiten gleich lang sind (-> Quadrat!).

Antwort
von ponyfliege, 37

um die fläche zu erhalten, multiplizierst du die kantenlängen miteinander.

1,5 x 1,5 ist nun mal mehr als 2 x 1.

ein quadrat hat immer mehr fläche, als ein rechteck der gleichen gesamtkantenlänge.

ein gleichseitiges dreieck mit 2m länge auf jeder kante hätte übrigens denselben flächeninhalt wie dein rechteck.

Kommentar von Geograph ,

"ein gleichseitiges dreieck mit 2m länge auf jeder kante hätte übrigens denselben flächeninhalt wie dein rechteck" ??????

Fläche des gleichseitigen Dreiecks

A = (√3 • 1 )m² = 1,73m²

Kommentar von Suboptimierer ,

2² = h² + 1
h = Wurzel(3)

g/2 * h = 1 * Wurzel(3)
1,5² = 2,25

Nur die Rechnung dazu.

Kommentar von ponyfliege ,

danke. ich werde es mir merken.

Antwort
von Peterwefer, 41

Binomische Formel. Kannst Du auch mit 101 und 99 nachprüfen.

Kommentar von Mikkey ,

genau genommen die dritte.

Da es auf der rechten Seite a² minus b² heißt, ergibt sich daraus die Antwort auf die Frage.

Antwort
von Fragensammler, 48

Wenn du multiplizieren kannst, sollte das ganz offensichtlich werden:
2x1=2
1,5x1,5=2,25
Die Fläche ist das, was benötigt wird, also wird auch die nur ausgerechnet, da ist der Umfang egal.

Antwort
von gfntom, 12

Die Frage ist: warum soll die Fläche gelich sein?  Dafür gibt es doch keinen Grund!

Es wurde schon erwähnt, aber ich mache es noch extremer: Nimm 2 Bretter mit je 3 Metern und schraube sie zusammen. Nun hast du ein "Rechteck" dass einen Umfang von 6 m hat (3 m + 0 m + 3 m + 0m) und eine Fläche von 0 m²

Und rechnerisch:
Der Umfang U = 2*(a+b)

Wenn ich nun a um x länger mache und b um x kürzer so ist U
U = 2* (a+x + b -x) = 2 * (a + b + x - x) = 2 * (a + b)
kurz: U bleibt gleich.

Der Flächeninhalt
A = a * b
ändert sich allerdings zu
A = (a+x) * (b-x) = a * b + (b - a) * x -  x²

A ändert sich also dabei um a * b + (b - a) * x -  x²

Antwort
von Schachpapa, 8

Hast du auch zu denen gehört, die in Mathe immer gemault haben: "Das braucht man doch im Leben nie mehr!" ?

;-)

Antwort
von Geograph, 12

Umfang U eines Rechtecks mit den Seiten a und b:

U = 2 • (a + b) >> a = U/2 - b (Gl.1)

Fläche A des Rechtecks:

A = a • b (Gl.2)

(Gl.1) in (Gl.2) einsetzen

A = -b² + b • U/2 (Gl.3)

Maximalwert für A >> 1. Ableitung (dA/db) gleich Null setzen

A' = -2b + U/2 = 0 >> b = U/4

Eingesetzt in (Gl.1)

a = U/2 - U/4 = U/4

a = b >> Quadrat

Ein Quadrat ist das Rechteck, das bei gegebenem Umfang die größte Fläche hat

Antwort
von HarryHirsch4711, 3

Umfang und Fläche sind zwar beide von der jeweiligen Kantenlängen abhängig, aber

U=2 (a+b)

A = a * b

Also hast Du unendlich viele Rechtecke mit einem Umfang von 6m bauen...., aber alle haben eine andere Fläche...

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