Frage von Peter4976890, 56

Warum ist diese Gleichung äquivalent ((2x^5+4x^3-6x)/(x^8-4x^6+6x^4-4x^2+1))=((2x^3+6x)/(x^6-3x^4+3x^2-1))?

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathe, 14

Kleines Problem in Deiner Frage: "Äquvalent" können in der Mathematik nur zwei Aussagen (also i.A. Gleichungen) sein; und zwar sind sie das dann, wenn beide Gleichungen/Aussagen dieselbe Lösungsmenge besitzen. (Beispiel: 2x = 8 <=> x = 4)
Nur: Du hast nur eine Gleichung gegeben.

Ich gehe also eher davon aus, dass es darum geht, warum die beiden Terme rechts und links vom Gleichheitszeichen gleichwertig sind, also für jede gültige Einsetzung für x denselben Wert ergeben. (Beispiel: 2x + 5 - 3x = -x + 5)

Auffällig ist ja schon mal, dass die Zähler- und Nennerterme rechts beide einen um zwei niederigeren Grad haben als links. Wurde da gekürzt? Und wenn ja, durch welchen Terme?

Hierzu ist es häufig zielführend, Zähler und Nenner links zu faktorisieren, also so weit es geht auszuklammern. Das mache ich mal beim Zähler vor:

2x^5 + 4x^3 - 6x = 2x·(x^4 + 2x² - 3) = 2x · (x² + 3) · (x² - 1) =
2x · (x² + 3) · (x - 1) · (x+1)
(beim vorletzten Schritt habe ich mich vom Satz von Vieta leiten lassen; zugegeben, den kennt nicht jeder Schüler; beim letzten Schritt lässt die 3. bin Formel grüßen).

Und nun der Nenner:

x^8 - 4x^6  6x^4 - 4x^2 + 1 = (x² - 1)^4 = [(x+1)(x-1)]^4
(zugegeben: hier brauchte man schon eine gehörige Portion Mathematikerblick; hier hilft es, wenn man einen Taschenrechner zur Hilfe hat, mit dem man faktorisieren oder Nullstellen berechnen lassen kann)

Und nun siehst Du: Sowohl im Zähler als auch im Nenner kommt je einmal der Faktor (x+1) und (x-1) gemeinsam vor; die beiden kannst Du also kürzen.
Bleibt:

[2x(x²+3)] / [(x+1)(x-1)]³ = [2x(x²+3)] / [(x²-1)]³

Und wenn Du das alles wieder ausmultiplizierst, erhälst Du den Bruchterm auf der rechten Seite der Gleichung.


Antwort
von Peter4976890, 35

Steht doch da, das Gleichzeichen beachten.

Zwei Terme die Äuivalent zu einander sind. 

Ich frage mich nur wieso und hoffe auf eine Antwort.

Antwort
von iokii, 35

Äquivalent wozu?

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