Frage von checkerRELOUDED, 56

Warum ist die Wurzel aus 5 irrational?

Ich bin seit 10 minuten an dieser aufgabe doch komme nicht weiter.Kann mir jemand weiterhelfen.

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathe, 37

1² = 1
2² = 4
3² = 9
...

Da die Folge aufsteigend ist, eine Wurzel aus einer Natürlichen Zahl nur eine Natürliche Zahl oder eine Irrationale Zahl sein kann, ist Wurzel aus 5 irrational.

Kommentar von slutangel22 ,

Ja, aber wieso kann denn die Wurzel nur natürlich oder irrational sein? Das muss man erstmal zeigen!

Kommentar von Rubezahl2000 ,

Nicht Wurzel allgemein, sondern die Wurzel einer natürlichen Zahl

Kommentar von Suboptimierer ,

Bei Beweisen, die auf Sätze aufbauen, muss man erstmal wissen, welche Sätze denn schon als bewiesen gelten sollen, das ist richtig. Sonst müsste man bei den Peano-Axiomen beginnen.

Antwort
von Kuno33, 56

https://de.wikipedia.org/wiki/Irrationale_Zahl

Hier findest Du die Erklärung! Hast Du keine Suchmaschine im Browser?

Antwort
von slutangel22, 20

Das ist ein uraltes Problem, meistens findet man das als Frage: Warum ist die Wurzel von 2 irrational?

Man muss sich dazu schon ein bisschen was überlegen. Z.B. so:

Also, nehmen wir mal an, Wurzel aus 2 ist rational, also sqrt(2) = p/q mit irgendwelchen natürlichen Zahlen p und q, alles komplett ausgekürzt. Dann quadrieren wir mal gemütlich auf beiden seiten,

2 = p^2 / q^2

aka

2 q^2 = p^2.

Und das ist jetzt schon komisch, weil p^2 anscheinend den Faktor 2 enthält. Und wenn p^2 den Faktor 2 enthält, dann muss auf p den Faktor 2 enthalten; irgendwo muss er ja herkommen. Also ist p^2 auf jeden Fall auch durch 4 teilbar. Also muss q^2 auch den Faktor 2 enthalten. Also muss q auch den Faktor 2 enthalten. Aber p und q sind ja teilerfremd. HIER STIMMT WAS NICHT!!! Die Annahme ist also verkackt, sqrt(2) kann gar nicht rational sein.

Genau denselben Zirkus kannst du auch mit 5 durchprügeln. (Mit jeder Primzahl, um genau zu sein.)

Antwort
von Rubezahl2000, 12

Weil es keine rationale Zahl gibt, deren Quadrat 5 ergibt ;-)

Antwort
von FrozenMonkey99, 36

Hier hatte jemand dieselbe Frage: http://www.onlinemathe.de/forum/Beweis-bei-Wurzel-5

Vielleicht hilft dir das weiter.

LG

Antwort
von Anely, 22

Kennzeichen einer irrationalen Zahl ist es damit, dass sie nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen darzustellen ist.

Nun versuch Mal Wurzel 5 mit Ganzen Zahlen darzustellen. Ich wüsste nicht wie.

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