Frage von Lolig4321, 91

warum ist die verdopplung (multiplikation mit 2) im binärsystem ganz einfach?

ich versteh es nicht. Danke im voraus

Antwort
von gfntom, 26

Mach dir klar, was ein Zahl in Binärschreibweise bedeutet, zB

die Zahl 77 (dez) ist binär:
100 1101₂ = 1 * 64 + 0 * 32 + 0 * 16 + 1 * 8 + 1 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1  =

=1 * 2^6 + 0 * 2^5 + 0 * 2^4 + 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0

Multiplizierst du dies mit 2 erhältst du:

1 *2* 2^6 + 0 * 2*2^5 + 0 * 2*2^4 + 1 * 2*2^3 + 1 * 2*2^2 + 0 * 2*2^1 + 1 * 2*2^0

= 1 * 2^7 + 0 * 2^6 + 0 * 2^5 + 1 * 2^4 + 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 *2^0 =
1001 1010₂ = 154 (dezimal)

Anders gesagt: jede Stelle wird durch Multiplikation mit 2 an die nächsthöhere Stelle geschoben, das Komma wird also einfach um eine Stelle nach rechts geschoben.

Kommentar von SchakKlusoh ,

Das hat mit binär nichts zu tun. Das funktioniert in jedem Zahlensystem.

Kommentar von gfntom ,

Natürlich hat das mit binär zu tun. Nur im Binärsystem bewirkt die Multiplikation mit 2 eine Verschiebung des Kommas um eine Stelle nach rechts! Und genau deswegen ist die Multiplikation mit 2 im Binärsystem so einfach - das ist die Antwort auf die Frage.

Es ist schön, dass du weisst, das die Multiplikation mit der Basis eines Zahlensystems zu der Verschiebung des Kommas um eine Stelle führt, aber das war hier nicht gefragt, also ist deine Bemerkung reine Themenverfehlung und Wichtigtuerei!

Antwort
von Zaadii, 42

Die Multiplikation mit 1 ist in jedem System einfach. Du fragst aber nach der multiplikation mit 2.

Schau Dir mal die Multiplikation mit 10 im Decimalsystem an. Ist die einfach? Ich würde sagen, ja. Warum? weil man einfach ne Null an die Zahl dran hängt.

Und so ist es generell. Immer wenn ich in einem Zahlensystem mit der basis dieses Systemes Multipliziere, muss ich einfach nur ne Null dranhängen.

Kommentar von SchakKlusoh ,

Das ist nicht die Erklärung. Warum hängt man eine Null an?

Kommentar von Zaadii ,

Hä!? Die Frage war doch nicht warum man ne Null anhängt! Die Frage war warum die entsprechende Multiplikation so einfach ist.

Stelle bitte Deine eigenen Fragen in einem separaten Beitrag.

Kommentar von SchakKlusoh ,

muss ich einfach nur ne Null dranhängen.

Das hast Du geschrieben, also habe ich DICH gefragt.

Antwort
von DerOnkelJ, 21

Das ist ähnlich wie im Dezimalsystem die Verzehnfachung.

Wenn du eine Zahl mal 10 nimmst dann hängst du einfach hinten eine Null an bzw schiebst das Komma und eine Stelle nach Rechts.

also 123 mal 10 = 1230

bzw:

12345,6789 mal 10 = 123456,789

Im Binärsystem arbeitest du aber mit Basis, jede STelle ist also zweimal so viel Wert wie die nächstniedrigere Stelle.
Und da machst du das im Grunde genau so, du hängst hinten eine Null an

also 1011 (binär) *2 = 10110
Dezimal geschrieben 11 * 2 = 22.. passt

Kommentar von SchakKlusoh ,

Du erklärst nicht, warum das so ist.

Kommentar von DerOnkelJ ,

Also ein wenig Denkvermögen muss man beim Fragenden schon voraussetzen. Und ich kann nicht immer bei Adam und Eva anfangen

Antwort
von kreisfoermig, 20

Beispiele kannst du haufenweise unten finden. Hier hingegen ein vollständiger Beweis. Man betrachte zunächst eine beliebige Zahl und stelle dies zur Basis 2

d⁽ⁿ⁾ … d⁽¹⁾d⁽⁰⁾

dar. Hierbei ist ≥ 0 eine natürliche Zahl und d⁽ᵏ⁾ ∈ {0; 1} für alle k. Diese Darstellung korrespondiert mit der Zahl

∑ d⁽ᵏ⁾2ᵏ  Summe über k von 0 bis n.

Mithilfe dieser Darstellung erhält man

(d⁽ⁿ⁾ … d⁽¹⁾d⁽⁰⁾) x 2 = (∑ d⁽ᵏ⁾2ᵏ) · 2
= ∑ d⁽ᵏ⁾ 2ᵏ·2
= ∑ d⁽ᵏ⁾ 2ᵏ⁺¹ Summe von k=0 bis n
= ∑ d⁽ᵏ¯¹⁾2ᵏ Summe von k=1 bis n+1
= ∑ e⁽ᵏ⁾2ᵏ Summe von k=0 bis n+1
wobei e⁽⁰⁾=0
und e⁽ᵏ⁾=d⁽ᵏ¯¹⁾ für k=1 bis n+1
= e⁽ⁿ⁺¹⁾ … e⁽²⁾e⁽¹⁾e⁽⁰⁾
= d⁽ⁿ⁾ … d⁽¹⁾d⁽⁰⁾0

Darum (d⁽ⁿ⁾…d⁽¹⁾d⁽⁰⁾) x 2 = d⁽ⁿ⁾ … d⁽¹⁾d⁽⁰⁾0.

Symbolisch muss man bei Multiplikation mit der Basiszahl also lediglich eine Null dranhängen. Der Beweis dafür stell oben ausführlich berechnet. Der Beweis lässt sich übertragen für alle Basen und die Schlussfolgerung ist dieselbe.

Kommentar von SchakKlusoh ,

Hübsch!

Écraser une mouche avec un marteau!!!

Kommentar von Volens ,

Hon(n)i soit, qui mal y pense.

Kommentar von SchakKlusoh ,

ça me ne frappe tellement

Tu as fait chou blanc

Kommentar von kreisfoermig ,

понятно)

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 41

Wenn du die Multiplikation mit 2 meinst, stimmt das im Binärsystem schon nicht mehr, denn die 2 im Zehnersystem entspricht der 10 im Zweiersystem.
Der Effekt ist genau wie im Dezimalsystem. Eine Multiplikation mit der Ziffernfolge 10 führt dazu, dass hinten eine Null angehängt wird.

3 * 10 = 30
12 * 10 = 120

Im Binärsystem :    11 * 10 = 110  (dezimal 3 * 2 = 6)
1100 * 10 = 11000                        (dezimal 12 * 2 = 24)
                                

Kommentar von SchakKlusoh ,

Fast getroffen.

Die Erklärung ist, daß die Zahlenbasis dargestellt in dem Zahlensystem immer eine 10 ist.

2 = 10 (Basis 2)
3 = 10 (Basis 3)
4 = 10 (Basis 4)

.....

Kommentar von Volens ,

So, so.
2 ≙ 10₂
3 ≙ 11₂
4 ≙ 100₂

und nicht anders (die Basis bleibt 2 ≙ 10₂)

Kommentar von SchakKlusoh ,

Wieso sollte die Zahlenbasis 2 BLEIBEN?

Du hast da was nicht verstanden. Deshalb noch einmal langsam.

Egal welche Zahlenbasis (n) man nimmt, die Zahl (n) der Zahlenbasis in der Zahlenbasis dargestellt ergibt immer die Zahl 10 (Basis n).

Deshalb sieht eine Multiplikation einer beliebigen Zahl mit der Zahl ihrer Zahlenbasis wie ein Linskverschieben mit 0 anhängen aus. Genauso sieht eine Division wie ein Rechtsverschieben aus.

Antwort
von voxymo, 46

Weil sich alles um eine Spalte verschiebt.

011 mal zwei ist 110

Kommentar von Lolig4321 ,

kannst du das bitte besser erklären

Kommentar von voxymo ,

ich glaube die anderen haben es inzwischen ganz gut erklärt.

Kommentar von SchakKlusoh ,

Das ist das was man sieht, aber nicht die Erklärung.

Kommentar von Volens ,

Aber sicher doch:
in jedem Zahlensystem wird mit Multiplikation mit der 10 des Systems eine Null angehängt bzw. das gedachte Komma um eine Stelle nach rechts verschoben. Das **ist** die Erklärung, und sie steht schon einige Male hier.

Kommentar von SchakKlusoh ,

Ahh, schau mal, da hat einer MEINE Antwort gelesen.


Antwort
von SchakKlusoh, 14

Da jede Stelle das n-fache der Stelle rechts von ihr ist, ist die Multiplikation einfach ein Linksschieben, wenn die Zahlenbasis n ist. Es findet so jedes mal eine Multiplikation mit 10 (in der jeweilen Zahlenbasis) statt.

Bsp.:

Basis 2 => Stellenwerte 2^4 - 2^3 - 2^2 - 2^1 - 2^0

01010 * "2" = 10100

Basis 3 => Stellenwerte 3^4 - 3^3 - 3^2 - 3^1 - 3^0

01212 * "3" = 12120

und so weiter


Basis 12 => Stellenwerte 12^4 - 12^3 - 12^2 - 12^1 - 12^0


01234 * "12" = 12340

Die "" bedeuten, das das nicht in der selben Zahlenbasis ist. "2" = 10 (Zahlenbasis 2)

"3" = 10 (Zahlenbasis 3)

"12" = 10 (Zahlenbasis 12)

Antwort
von tDoni, 44

Du meinst Multiplikation mit 2 ;)

Ganz einfach, du musst die Zahlenreihe nur um eine Stelle nach links schieben und eine 0 anhängen.

Beispiel: 101 (5) => 1010 (10)

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