Frage von emily2244, 70

Warum ist die tangentensteigung = der Steigung an dem Punkt des Graphen?

Warum ist das gleich?

Antwort
von Schachpapa, 31

Weil die Tangente so definiert ist, deshalb.

Wikipedia:

Ist die gegebene Kurve der Graph einer reellen Funktion f, dann ist die Tangente im Punkt P(x0|f(x0)) die Gerade, die dort die gleiche Steigung wie die Kurve hat.

Bei Definitionen fragt man dann nicht mehr warum, das muss man so hinnehmen.

Antwort
von Comment0815, 36

Weil die Tangente so definiert ist. Sie berührt den Graphen, ohne ihn zu schneiden. Und dazu muss die Steigung der Tangente eben gleich derjenigen im entsprechenden Berührpunkt sein.

Kommentar von emily2244 ,

Also kann man das nicht beweisen?

Kommentar von Comment0815 ,

Nein, eine Definition ist eben deshalb eine Definition, weil sie "jemand" so festgelegt hat. Daran gibt es nichts zu beweisen.

Das einzige was du machen könntest ist zu zeigen, dass die Definition in sich nicht schlüssig ist. Bezogen auf die Tangente z.B. zu beweisen, dass der Graph trotz gleicher Steigung geschnitten und nicht nur berührt wird.

Kommentar von Schachpapa ,

Um die Verwirrung zu vervollständigen, ein fieses Beispiel:

f(x) = x^3 + 5
t(x) = 5

t(x) ist Tangente im Punkt (0|5)
denn t'(5) = f'(5) = 0 und t(5) = f(5) = 5

Trotzdem schneidet die Tangente den Graphen.

Kommentar von emily2244 ,

Doch die wird doch nur berührt ? :/

Kommentar von Comment0815 ,

Eben. Deshalb ist die Definition ja auch sinnvoll. Wenn es nicht so wäre dann könntest du eine Tangente (also eine Gerade, die eine Funktion berührt) nicht dadurch definieren, dass du sagst, die Steigung der Geraden ist die Gleiche wie die der Funktion an der entsprechenden Stelle.

Kommentar von emily2244 ,

Ok danke aber kann die tangente neben dem Berührungspunkt die Kurve an einem anderen Punkt schneiden?

Kommentar von Comment0815 ,

Ja, kann sie. Das hat ist egal.

Antwort
von Myrine, 34

Was eine Tangente ausmacht ist, dass sie die Kurve in einem Punkt berührt. Hätte die Gerade eine andere Steigung als die Kurve in diesem Punkt, würde sie sie schneiden nicht berühren.

Kommentar von emily2244 ,

Also brauche ich das nicht zu beweisen warum das so ist?

Kommentar von Myrine ,

Nein, das ist eine Definition. Definitionen braucht man nicht zu beweisen, man stellt sie höchstens auf bzw. sie wurden irgendwann mal von irgendwem aufgestellt.

Kommentar von emily2244 ,

Bzw kann ich nicht?

Kommentar von emily2244 ,

Aber ich dachte bisher : eine gerade hat dieselbe Steigung wie eine Funktion wenn beide parallel verlaufen?

Kommentar von Comment0815 ,

Eine Gerade kann nicht parallel zu einer Funktion verlaufen, die nicht selbst auch eine Gerade ist. Sie kann höchtens die gleiche Steigung haben wie ein Punkt auf der Funktion.

Kommentar von emily2244 ,

Aber hätte die tangente an diesem Punkt eine andere Steigung dann muss sie doch die Funktion nicht da schneiden oder ? Sie kann doch auch an ihr vorbeigehen?

Kommentar von Myrine ,

Dann ist die Gerade aber auch keine Tangente mehr, denn sie berührt die Kurve auch nicht mehr.

Kommentar von Joshua18 ,

Hier gilt das allgemeine Gesetz, infinitesimal daneben ist auch vorbei !

Kommentar von emily2244 ,

Und was ist wenn Sie die schneidet?
Und kann eine tangente in einem anderen Punkt den Graphen denn auch schneiden neben dem berührtungspjnkt ?

Kommentar von Myrine ,

Wenn eine Gerade einen Punkt einer Kurve berührt, dann ist sie die Tangente dieser Kurve in diesem Punkt. Wenn die Gerade die Kurve schneidet, dann ist sie in diesem Punkt keine Tangente.

Ob eine Tangent die Kurve in irgend einem anderen (oder mehreren) Punkt(en) der Kurve schneidet oder nicht spielt keine Rolle, sie ist und bleibt die Tangente der Kurve in ihrem Berührpunkt.

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