Frage von Redfoxinside, 47

Warum ist die Stammfunktion von dV/V gleich ln(V)?

Hey anbei meine Berechnung. Ergebnis und Weg sollte stimmen, meine Frage ist nur, warum die "Aufleitung" von dV/V gleich dem ln(v) ist. Das sagte mir nämlich ein Komilitone, der in seiner Übung die Aufgabe bereits verbessert hatte, er selbst hat aber keine Ahnung, warum das so ist.

Habe die betreffende Stelle mit Rot eingekreist.

Mein Wissensstand ist, dass wenn ich ln(V) ableiten würde, 1/V herauskommen würde und nicht dV/V.

Danke schonmal im Vorraus,

Redfoxinside

Antwort
von Roach5, 22

Was wir wissen: Laut Definition ist ln(x) := g(x) die Umkehrfunktion von e^x := f(x) und die Ableitung von e^x ist e^x, dann folgt:

f(g(x)) = x aus Definition der Umkehrfunktion und es gilt also:

f(g(x))' = x' = 1, aus der Kettenregel folgt aber:

f(g(x))' = g'(x) f'(g(x)) = 1, es gilt f'(x) = e^x, also

g'(x) e^(ln(x)) = g'(x) x = 1, und schlussendlich:

g'(x) = 1/x.

Der Kommentar eines anderen Fragenbeantworters, dass dV/V zu schreiben falsch sei, stimmt nicht, du kannst dV wie eine infinitesimale Konstante behandeln und ganz normal damit rechnen (was sein/ihr unformeller Beweis, auf den er/sie verlinkt, sogar tut). Das Integral von 1/x hat eine sehr wichtige Anwendung in der komplexen A nalysis, denn das geschlossene Kurvenintegral um die Polstelle von 1/x ist genau 2 Pi i, und Wikipedia schreibt es genauso wie du: https://upload.wikimedia.org/math/8/5/9/8596adaf71dd4c12837c8f83f5083d12.png

LG

Antwort
von indiachinacook, 24

Naja, die Ableitung von ln(x) ist 1/x. Wenn Du vergessen hast warum: Man kann die Umkehrfunktion exp(x) ableiten, und dann kommt es so raus: http://www.ltcconline.net/greenl/courses/116/explog/logderivative.htm

Und dann muß umgekehrt das Integral von 1/x natürlich ln(x) sein (ob Deine Integrationsvariable x, V oder Susi heißt, ist ja gänzlich egal).

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 7

Du brauchst nur im Mathe-Formelbuch unter Grundintegrale schauen.Hier sind alle Grundintegrale gelistet,die immer gebraucht werden.

S dx/x=ln(x) + C hier ist S das Integralzeichen,verzerrtes S

also ist S dv/V=ln (V) + C

So ein Buch bekommst du privat in jeden Buchladen,z.Bsp. den "Kuchling"

Antwort
von isbowhten, 19

ohje... da fehlen aber einige wichtige grundlagen der mathematik!

beim integrieren sucht man nicht eine ableitung, sondern eine stammfunktion, was so ähnlich ist wie das gegenteil von ableiten.

des weiteren gehört das dv zum integral. der integrand allein lautet 1/v.

nun sollte deine frage eigentlich lauten: ist die stammfunktion von 1/v der ln(v)?

dies ist richtig, wie man in der schule bereits gelernt hat, aber auch mit der formel für die ableitung der umkehrfunktion leicht herleiten kann, wenn man weiß, dass die ableitung von e^v wieder e^v ist.

Kommentar von Redfoxinside ,

Ja sorry bzgl. Ableitung habe ich mich verschrieben. Und ja ich habs gerafft das dV ist ja nur nach was ich "Ableite" oder "Aufleite". Ich habe das d iwie als delta gelesen und damit als Volumenveränderung.

Danke dir! Problem gelöst!

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