Frage von pll4eva, 8

Warum ist die Ableitung von (2-x)^3 gleich -3(2-x)^2?

Die Frage ist eher warum die drei negativ ist also warum -3???

Antwort
von Schachpapa, 3

Entweder mit der Kettenregel "innere mal äußere", siehe softie1962

oder du multiplizierst zuerst aus und leitest dann ab:

(2-x)^3 = (2-x) * (2-x)^2 = (2-x)*(4 - 4x + x^2) = 8 - 8x + 2x^2 -4x +4x^2 -x^3 =
-x^3 +6x^2 -12 x + 8

Davon die Ableitung ist -3 x^2 +12x - 12

-3 ausklammern:  = -3 (x^2 -4x +4) = -3 (x-2)^2

und weil (x-2)^2 = x^2 -4 x + 4 = 4 - 4x + x^2 = (2-x)^2

ist schließlich [ (2-x)^3 ] ' = -3 (2 - x)^2

Aber mit der Kettenregel ist's viel einfacher ...

Antwort
von softie1962, 8

Innere Ableitung mal äußere Ableitung.

Ableitung von -x ist -1

Ableitung von Z³ is 3*Z² mit Z=(2-x)

-1 * 3 * (2-x)²

Kommentar von MrB33n ,

Schöne Erklärung :) Noch eine Bemerkung (zum Verständnis):

Die Ableitung gibt dir ja die Steigung der Funktion an.

Wenn du dein f(x) anschaust, wirst du ja ziemlich schnell bemerken, dass die Funktion für größere x-Werte immer kleinere (negativere) Werte annimmt (aufgrund des -x³) -> D.h. die Funktion hat eine negative Steigung.

Da du in der Ableitung ein (2-x)² stehen hast, würde das Minuszeichen bewirken, dass du für x-Werte größer als 2 in der Klammer zwar negative Werte hast, diese aber aufgrund des Quadrates wieder positiv werden -> D.h. dass die (Stamm)funktion (also f(x)) eine positive Steigung haben müsste.

Da aber wie oben schon erwähnt deine Funktion für große x-Werte "fällt", brauchen wir noch einen negativen Vorfaktor, welchen wir aus der inneren Ableitung (Kettenregel!) erhalten.

Kommentar von pll4eva ,

Danke

Antwort
von BVBDortmund1909, 2

-x^3=-x^3

-x^2=+x^2

Mit dem Minus vor der Klammer ist der x-Wert somit wieder negativ.

LG

Kommentar von Schachpapa ,

Häh???

-x^3 = -x^3 natürlich, denn links und rechts steht das gleiche.

-x^2 = +x^2 ist falsch. Setze für x z.B. 2, dann ist -4 nicht gleich +4

Zwar ist (-x)^2 = +x^2, aber das hat nichts mit der ursprünglich gestellten Frage zu tun.

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