Warum ist der Modulraum J-holomorpher Kurven kompakt?
Wenn man den Modulraum der J-holomorphen Kurven, die von der 2-Sphäre in eine symplektische Mannigfaltigkeit abbilden und deren Bild homotop zu Standardeinbettung der Sphäre ist. Wieso ist dieser Modulraum faktorisiert nach den Möbiustransformationen kompakt??
Antworten
Nur mal eine Frage um dem ganzen auf die Spur zu kommen: Wie sieht die Topologie auf dem Raum der J-holomorphen Kurven aus. Erbt dieser Raum von irgendwoher eine metrische Struktur bzw. was sind die offenen Mengen darin? Ich könnte mir sogar schon vorstellen, dass dieser ganze Raum ohne Faktorisierung schon kompakt ist. Leider weiß ich nicht mehr oder wußte es nie, was eine Möbiustrafo ist. Studium ist auch schon 4 Jahre zurück.
Möbiustransformationen sind Abbildungen der komplexen Zahlen in sich selbst, derart, dass z |-> (az+b)/(cz+d), wobei a, b, c und d komplexe Zahlen sind.
Der Raum der Möbiustransformationen ist selbst nicht kompakt und wenn eine Kurve J-holomorph ist, so ist es jede Superposition dieser Kurve mit einer Möbiustrafo auch. Daher kann der gesamte Modulraum vor Faktorisierung nie gleichzeitig kompakt und nichtleer sein.
Zu den offenen Mengen: Die Kurven kommen aus dem Sobolev-Raum W(1,p) mit p>=2 und erben die entsprechende Norm.
Danke, dass sich doch jemand ernsthaft mit der Frage beschäftigt. DH
Ja genau! Das selbe wollte ich auch grad fragen!
Damit man es hinterher lösen kann. Und dann transferiert man einfach zurück.
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