Frage von TSoOrichalcos, 62

Warum ist d/dx e^x = e^x?

Mir wurde schon oft gesagt, dass es so ist. Einen Beweis habe ich peider noch nicht gesehen. Ich durchsuche gerade das Internet, finde aber keinen. Kann mir irgendjemand erklären warum dass so ist?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 22

In diesem Video findest du eine Herleitung -->


Kommentar von DepravedGirl ,

Vielen Dank für den Stern :-)) !

Antwort
von ProfFrink, 25

Eine Beweismöglichkeit besteht in der Aufstellung des Differenzenquotienten und der anschließenden Grenzwertbetrachtung für epsilon -> 0.

Eine andere Möglichkeit besteht in der Betrachtung der Taylorreihe, mit der man Zahlenwerte für die e-Funktion ausrechnen kann. Es gilt:

e^x = 1 + x +x^2/2! + x^3/3! + x^4/4!

Nun bilde ich die Ableitung der Taylorreihe. Aus der 1 wird eine 0. Aus x wird eine 1. x^2 geht über in 2x. Im Nenner steht aber 2! bzw 1*2, ich kann die 2 kürzen.

Vorgerechnet

(e^x)' =  1 +2x/(1*2) + 3x^2/(1*2*3) + 4x^3/(1*2*3*4) + ...

Im zweiten Term lassen sich die 2en kürzen, im dritten Term lassen sich sich die 3en kürzen usw. Es resultiert, tadaaa

(e^x)' =  1 +x + x^2/(1*2*) + x^3/(1*2*3) + ...

die e-Funktion

Antwort
von Orsovai, 39

Ja klar. Das liegt an der Definition der e Funktion selbst. Die genannte Eigenschaft charakterisiert die e Funktion und macht deren Bedeutung aus.

Einen Beweis für die Eigenschaft findet sich hier
http://www.mathe-online.at/mathint/diff1/i_beweis21.html

Antwort
von UlrichNagel, 15

Exponentialfunktionen werden über ihren Logarithmus abgeleitet und es ergibt sich e^x * lne = e^x *1

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 23

weil die Ableitung von e^x wieder e^x ist.

Antwort
von seifreundlich2, 13

Ist nun mal so. Sieht man dem Graphen an.

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