Frage von MeRoXas, 38

Warum ist das gegebene lineare Gleichungssystem unterbestimmt?

In einem Bespiel meines Mathematikbuches ist zu Beginn einer Aufgabe bzgl. Matrizenrechnung ein 3x3 Gleichungssystem aufgestellt worden. Hier die Gleichungen (hoffentlich zerschießt GF jetzt nicht die Formatierung).

I. 1/5x + 1/2y + 3/10z = x

II. 1/2x + 2/5y + 3/10z = y

III 3/10x + 1/10y + 2/5z = z

Da es ja drei Gleichungen mit drei Unbekannten sind, müsste die ganze Geschichte ja theoretisch aufgehen. Tut sie aber nicht.

Stattdessen nimmt das Buch eine vierte Gleichung daher, welche sich aus dem Aufgabenkontext erschließt, um das System eindeutig lösen zu können.

IV. x+y+z=1

Nun stellt sich mir hier die Frage, warum das LGS zu Beginn nicht eindeutig lösbar ist, wenn man doch drei Gleichungen angegeben hat.

Mein Ansatz wäre, dass III aus I und/oder II hervorgeht, man also im Prinzip nur zwei Gleichungen hätte. Jedoch wüsste ich nicht, wie ich von I/II auf III kommen könnte, sodass mir der Grund für die Unterbestimmtheit des Gleichungssystems (noch) schleierhaft ist.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von FataMorgana2010, 24

Ja, die drei Gleichungen sind abhängig, es gilt nämlich 

- I = II + III. 

Besser sieht man das, wenn man x, y  und z von der rechten auf die linke Seite holt und dann alles auf Zehntel umrechnet: 

-I. 8/10 x - 5/10 y - 3/10 z = 0

II. 5/10 x - 6/10 y + 3/10 z = 0

III. 3/10 x + 1/10 y - 6/10 z = 0


Alternativ kannst du auch einfach alle 3 Gleichungen addieren (in der ursprünglichen Form), dann kommt 

x + y + z = x + y + z also 0=0 

heraus - also ebenfalls eine triviale Gleichung. 

Kommentar von MeRoXas ,

Zu der letzten Aussage:

Kann man das allgemein fassen? Also wenn durch Addition aller Gleichungen eine triviale Aussage entsteht, ist das LGS unterbestimmt? Bei einer anderen Aufgabe funktioniert das nämlich ebenso.

Kommentar von FataMorgana2010 ,

Ja - aber die Umkehrung gilt natürlich nicht. 

Wenn du die beiden Gleichungen

x + y = 4 

2x + 2y = 8 

hast, dann ist die Summe 

3x + 3y = 12. 

Das ist nicht trivial, trotzdem sieht man sofort, dass das LGS unterbestimmt ist. 

Antwort
von LoLZocker, 19

ich hoffe das bild hilft und is leserlich.. am anfang hab ich zu schönheit alles mal 10 genommen

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