Warum ist bei der Integration eines Faltungsproduktes keine partielle Integration notwendig?

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2 Antworten

Ich glaube die Frage ist nicht ganz richtig gestellt, denn das Faltungsprodukt ist selbst schon ein Integral. Und im allgemeinen ist es ein Integral über ein Produkt aus zwei Funktionen. Dann ist im allgemeinen auch eine partielle Integration notwendig.

Auf der anderen Seite ist es aber so, dass diese Faltungsprodukte typischerweise in der Signalverarbeitung oder in der Regelungstechnik vorkommen. Dort wiederum sind es meist sehr einfache Funktionen mit denen man es zu tun hat, so dass oft auf die Verwendung von partiellen Integralen verzichtet werden kann. Ist zum Beispiel eine beteiligte Funktion einfach nur ein Rechteckverlauf, dann bestimmt diese eine Funktion nur noch die Integrationsgrenzen und taucht in der Ausrechnung des Integrals gar nicht mehr richtig als Integrand auf.

Sonst nenn' doch einfach ein Beispiel. Dann kann ich Dir genau sagen, warum eine partielle Integration nicht notwendig ist.

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Kommentar von dreamerdk
16.03.2016, 22:26

es geht um die Lösung einer skalaren inhomogenen Differentialgleichung der Form

dx/dt= Ax(t)+ v(t)  mit Anfangswert x(to)=x0

in der allgemeinen Lösungsformel taucht die Faltung auf:

x(t) = exp(A(t-to)) *xo + Integral von to bis t ( exp(A(t-Tau)) * v(Tau) dTau)

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Hallo dreamerdk,

ich kommen nochmal zurück auf Deine Frage, die ich nun ein wenig konkreter beantworten kann, da Du ja ein Beispiel gebracht hast. Es handelt sich um die allgemeine Lösung einer inhomogenen Differenzialgleichung.

Darin taucht der Integrand exp(A(t-Tau)) * v(Tau) auf. Die Funktion v(Tau) ist ja hier nur symbolisch angegeben. Bei einer konkrete Ausprägung dieser Funktion kommt man um eine partielle Integration nicht umhin. Man müsste sie tatsächlich ausführen.

Bei dieser allgemeinen Lösung Deiner inhomogenen Differenzialgleichung kann man aber trotzdem überprüfen, ob sie denn auch hinhaut, also die Differenzialgleichung löst. Man kontrolliert die Lösung, in dem man sie in die Differenzialgleichung einsetzt. Das wiederum fängt damit an, dass Du sie nach der Variablen t ableiten muss. Bei dem ersten Term

exp(A(t-to)) *xo

ist das ein Kinderspiel. Die Ableitung ergibt

A*exp(A(t-to)) *xo

Bei dem Integral Integral von to bis t ( exp(A(t-Tau)) * v(Tau) dTau) muss man schon ein wenig überlegen. Zunächst zieht man den konstanten Faktor

exp(A*t) vor das Integral

exp(A*t) * Integral von to bis t (exp(-A*Tau)*v(Tau) dTau

Dann wird dieser Ausdruck mit Hilfe der Produktregel abgeleitet wobei exp(A*t) die erste Funktion und das Integral die zweite Funktion darstellt. Bei der Ausführung der Ableitung des Integrals nach t musst Du nur beachten, dass die Variable t nur in der Obergrenze des Integrals enthalten ist. Der Clou ist, dass Du das bestimmte Integral in der Weise ableitest, dass Du einfach den Integrand isolierst (also das Integrationszeichen entfernst) und Tau durch t ersetzt. Wenn Du es nicht glaubst, dann probier es mit einer Dir bekannten Funktion aus, ob man das so machen kann.

Am Ende erhälts Du auf diese Weise eine Gleichung, die auf der linken Seite ein Integral enthält und auf der rechten Seite das gleiche Integral. Also zur Kontrolle der Lösungsfunktion ist nicht die partielle Integration vonnöten, wohl aber die Anwendung der Produktregel. Es geht so:

d/dt  [Integral von to bis t (exp(-A*Tau)*v(Tau) dTau] = exp(-A*t)*v(t)

So einfach ist das!

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