Frage von bading, 161

Warum ist ∞ - ∞ nicht Null?

Das wäre doch nur logisch. Wieso gilt dies also als nicht definiert? Wieso definiert es niemand zu Null ?

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 22

Das macht deshalb niemand, weil es Unsinn wäre.
Ich versuche es auch nochmal zu erklären, weil ich hinterher noch etwas zum Vergleichen für dich habe.

Wenn du die positiven geraden Zahlen hernimmst, haben sie die gleiche so genannte Mächtigkeit wie die positiven ganzen Zahlen. Denn du könntest alle geraden Zahlen nachzählen und eine Nummer draufschreiben, die ab 1 beginnen würde. Aber du würdest immer noch eine Nummer für die nächste gerade Zahl finden.

Das nennt man gleich-mächtig.
Wenn du jetzt aber aus der Menge der ganzen Zahlen (∞) die geraden Zahlen (∞) herausnimmst, hast du immer noch die ungeraden (∞).
Gegen den Wunsch ∞ - ∞ = 0 steht plötzlich die Erkenntnis: ∞ - ∞ = ∞

Das ist eine Situation wie bei der Division durch 0. Die ist auch nicht definiert ("verboten", wie ihr bisher gesagt habt).

Die Verhältnisse im Unendlichen sind eben seltsam. Und nun kommt noch ein Bonbon.
Stell dir einen Ober vor, der in einem mit Lichtgeschwindigkeit fahrenden Zug durch den Speisewagen eilt, selber auch mit Lichtgeschwindigkeit. Wenn du die beiden Geschwindigkeiten addierst, kommt genau die Lichtgeschwindigkeit wieder heraus. Auch hier ein Phänomen, das sich ergibt, wenn man unendlich nah an diese Geschwindigkeit herankommt.

In Physik werdet ihr euch bei Gelegenheit damit mal beschäftigen. Da nennt man es dann Relativität.

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 70

∞ ist in dem Sinne keine Zahl.

Natürlich kannst du sagen x - x = 0 für x ∈ ℝ.

Unendlich ist aber keine reelle Zahl, faktisch gar keine Zahl.

Außerdem können verschiedene Unendlichkeiten verschiedene Kardinalitäten haben.

All das macht das Rechnen mit Unendlich schwierig.

Du kannst keine Rechengesetze auf "Nicht-Zahlen" anwenden. ^^

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi 

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 7

Eine mathematisch saubere Beschreibung des Unendlichen ist nicht ganz einfach. Nicht umsonst gab und gibt es Finitisten unter den Mathematikern, die das Konzept zumindest des aktual Unendlichen.

Allerdings gibt es durchaus Ansätze, die es behandeln. 

Die durch ∞ bezeichnete Unendlichkeit ist keine Zahl, sondern fasst gleichsam alles mögliche Unendliche zusammen.

Das Symbol steht eher für das potential Unendliche, deshalb liest man häufig so etwas wie
»y →  ∞«, was soviel bedeutet wie »y hat keine obere Schranke«

respektive
»y → –∞«, was so viel bedeutet wie »y hat keine untere Schranke«.

Selten liest man so etwas wie
»y = ∞«,
und wenn, dann ist das meist nicht ganz wörtlich gemeint oder eben nicht mathematisch sauber.

Es gibt zwar die »erweiterten reellen Zahlen« ℝ∪{–∞,∞} und ℝ∪{∞} (wobei Letzteres die projektiven reellen Zahlen sind), in denen ∞ wie eine ganz normale Zahl behandelt wird, aber hier versagen die Rechenregeln, sobald diese »uneigentlichen Elemente« im Spiel sind.

Es ist mehr nicht die Unendlichkeit, sondern die Uneindeutigkeit, die sauberes Rechnen mit ∞ und übrigens auch die Division durch 0 unmöglich macht, weil dadurch absurde »Beweise« möglich werden. Das liegt daran, dass die 0 »der große Plattmacher« ist:

x·0 = 0 ∀ x

In gewisser Weise überträgt sich das auch auf ∞ und auch auf die im Folgenden betrachteten transfiniten Kardinalzahlen.

Mit Unendlichkeiten, sofern es viele sind und keine davon den Anspruch erhebt, Kehrwert von 0 zu sein, kann die Mathematik problemlos umgehen, wie wir weiter unten sehen. 

Transfinite Kardinalzahlen

Das aktual-Unendliche begegnet uns vor allem bei Mengen abstrakter mathematischer Objekte wie Zahlen.

Um die »Anzahl ihrer Elemente« einer Menge X, ihre Mächtigkeit oder Kardinalität card(X) oder |X| zu beschreiben, wurden die transfiniten Kardinalzahlen eingeführt, mit denen man freilich nicht so rechnen kann wie mit gewöhnlichen Zahlen.

Das liegt nicht zuletzt daran, dass eine unendliche Menge X echte Teilmengen hat, die genauso mächtig sind wie X selbst. Für die Analysis ist dieser Umstand von allergrößter Bedeutung, denn nur so kann z.B.

tan: ]-π/2,π/2[ → ℝ

überhaupt definiert und zudem noch umkehrbar sein.

Dennoch gibt es auch unterschiedliche unendliche Mächtigkeiten. Der Vergleich von Mengen ist auch über injektive, surjektive und bijektive Abbildungen

f: X → Y

möglich (bei unendlichen Mengen ausschließlich).
›Bijektiv‹ bedeutet dabei anschaulich ›injektiv und surjektiv‹ (»1:1-Abbildung«), ›injektiv‹ ›umkehrbar eindeutig‹ und ›surjektiv‹ ›vollständig‹ (in dem Sinne, dass

∀ (y∈Y) ∃x: y = f(x)).

Ganz allgemein (auch für endliche Mengen) gilt

Ist |X| = |Y|, so gibt es eine bijektive Abbildung f: X→Y und f⁻¹: Y→X.
Ist |X| > |Y|, so gibt es keine injektive Abbildung f: X→Y.
Ist |X| < |Y|, so gibt es keine surjektive Abbildung f: X→Y.

Zwischen zwei Mengen gleicher endlicher Mächtigkeit ist allerdings jede injektive  Abbildung auch surjektiv und umgekehrt, was bei unendlichen Mächtigkeiten nicht der Fall ist.

Die kleinste transfinite Mächtigkeit ist ℵ₀ = |ℕ|. Eine Menge X mit |X| = ℵ₀ heißt abzählbar unendlich. Dass man mit dem Zählen nie fertig wird, ist dem Mathematiker wurscht; schließlich kann man die Elemente durchnummerieren, denn es gibt eine Bijektion von ℕ auf X. Diese Mächtigkeit haben auch die rationalen Zahlen und sogar noch die algebraischen Zahlen 𝔸, was schon ziemlich erstaunlich ist.

Georg Cantor, der Begründer der Mengenlehre, konnte aber zeigen, dass es keine surjektive Abbildung ℕ→ℝ gibt und somit |ℝ|=:𝔠 > ℵ₀ ist.

Über die zu ℵ₀ nächst größere Kardinalität ℵ₁ gibt es nun die Kontinuumshypothese

ℵ₁ = 𝔠 ?,

die interessanterweise im Rahmen des Axiomensystems des 20. Jhd.s nicht entscheidbar ist, was man sogar beweisen kann und der Physiker Paul Cohen in den 1960er Jahren getan hat.

Rechnen mit transfiniten Kardinalzahlen ist nur eingeschränkt möglich, es gelten nicht dieselben Axiome wie etwa bei Rellen Zahlen. Insbesondere ist die Gesamtheit aller Kardinalzahlen keine Menge, wie Cantor umsichtsvollerweise feststellte.  

Nichtstandard-Analysis

Einen völlig anderen Ansatz beim Herangehen an das Unendliche bietet die ursprünglich ab 1961 von Abraham Robinson begründete und später weiterentwickelte Nichtstandard-Analysis, die transfinite - und infinitesimale - Zahlen über Folgen definiert, transfinite natürlich über divergente.

Der Aufwand zu Beginn, um das ganze gegen logische Wassereinbrüche zu sichern, ist relativ groß, man muss sich mit Potenzmengen (Mengen aller Teilmengen einer Grundmenge) sogenannten Filtern (Teilmengen von Potenzmengen) und Ultrafiltern befassen, um bei der Definition festzulegen, welche Folgen man mit welchen Zahlen zu identifizieren hat. Dabei lässt sich ein Ultrafilter nicht einmal explizit angeben, aber die Existenz genügt.

Die Menge ℝ zusammen mit den unendlichen und infinitesimalen Zahlen bildet dabei die Menge *ℝ der Hyperreellen Zahlen. Im krassen Gegensatz zu den oben erwähnten erweiterten Reellen Zahlen ist *ℝ ein Körper, d.h. es gelten sämtliche Axiome der Addition und Multiplikation, die wir von ℝ gewohnt sind.

Hier gibt es nun nicht ein »Unendlich«, sondern viele »Unendlichs« mit ganz eindeutigen Summen, Differenzen und dergleichen mehr.

Ist etwa

α ∈ *ℝ, so ist α – α = 0 und α/α = 1,

auch wenn α unendlich ist, was durch

α > n ∀ n∈ℕ

ausgedrückt wird. Es gilt natürlich auch ε/ε = 1, auch wenn ε infinitesimal ist, was durch

ε < 1/n ∀ n∈ℕ

ausgedrückt wird. Dennoch ist

ε ≠ 0,

sonst gäbe es 1/ε nicht. Es ist aber

ε ≈ 0,

wobei »≈« in der Nichtstandard-Analysis, anders als gewöhnlich, »infinitesimal benachbart« bedeutet. Es ist auch z.B.

(α–1)/α ≈ 1,

wenn α unendlich ist.

Antwort
von schuhmode, 17

Das ist nicht logisch, weil ∞ gar keine Zahl ist, und damit der Ausdruck "∞ -
∞" nicht definiert ist.


"∞" ist zunächst mal ein Symbol dafür, dass eine veränderliche Größe über jede Schranke wächst.

n -> ∞

Wenn n alle natürlichen Zahlen durchläuft, dann geht n gegen unendlich, und das schreibt man so: n -> ∞

Die Folge 2n geht dann natürlich auch gegen unendlich 2n -> ∞.

Ich könnte Differenzen bilden:

  • n - n = 0, daraus kann ich aber nicht machen "∞ - ∞ = 0"
  • 2n -n = n, daraus kann ich aber nicht machen "∞ - ∞ = ∞"
  • n - 2n = -n, daraus kann ich aber nicht machen "∞ - ∞ = -∞"
  • => Lauter verscheidene "Ergebnisse" für "∞ - ∞" => das ist nicht definiert








Antwort
von Epicmetalfan, 70

einfaches beispiel:

was ist 2a - a?  genau, das ist gleich a

wenn a jetzt unendlich ist, hast du

1. 2*unendlich - unendlich = unendlich? (nach dem prinzip 2a-a=a)

aber auch 2*unendlich = unendlich und somit

2*unendlich - unendlich = unendlich - unendlich = 0

es ist nunmal unendlich viel, das heißt aber nicht, dass es gleich viel ist.

anderes beispiel: die natürlichen zahlen, davon gibts unendlich viele. von den ganzen zahlen gibt es auch unendlich viele. trotzdem gibt es "mehr" ganze zahlen als natürliche zahlen, es ist eben nicht das "selbe unendlich"

Kommentar von Willibergi ,

Was Epicmetalfan sagen möchte, ist das die Menge der natürlichen Zahlen eine andere Kardinalität hat als die Menge der ganzen Zahlen, sie also mächtiger ist, da es mehr ganze Zahlen gibt als natürliche Zahlen.

LG Willibergi 

Kommentar von varlog ,

Tatsächlich sind die Mengen der ganzen Zahlen und die der natürlichen Zahlen gleichmächitg, da du eine bijektive Abbildung finden kannst, die |N auf Z abbildet.

Kommentar von Willibergi ,

Stimmt, die Abbildung ist sogar auch injektiv und somit bijektiv. ;)

LG Willibergi 

Kommentar von Epicmetalfan ,

klar, beide sind abzählbar unendlich und habe die gleich kardinalität, trotzdem gibt es halt gefühlt "mehr" ganze zahlen. es sind ja praktisch doppelt so viele + die null.

Kommentar von Schachpapa ,

Das Blöde an der Mathematik ist, das "gefühlt" nicht immer auch "richtig" bedeutet. In der Stochastik gibt es da ganz viele Beispiele (z.B. das Geburtstagsparadoxon).

Es gibt genau so viele ganze wie natürliche Zahlen (beides abzählbar unendliche Mengen), aber es gibt echt mehr reelle Zahlen (überabzählbar unendlich)

Außerdem hast du doch oben schön (!) dargelegt, dass "2 mal unendlich" nicht das macht was es soll ;-)

Antwort
von Yohanna0808, 27

Unendlich ist keine Zahl.
Stell dir mal die natürlichen Zahlen vor. Das sind unendlich viele:
(0),1,2,3,....
Und stell dir jetzt die ganzen Zahlen vor. Das sind auch unendlich viele:
... - 3,-2,-1,0,1,2,3,...
In den ganzen Zahlen gibt es zu (fast) jeder natürlichen Zahl noch ein negatives dazu.

Das sind also beides unendlich viele Zahlen.
Aber die ganzen Zahlen beinhalten doch nicht genau gleichviele Zahlen wie die natürlichen, oder?

Damit ist hier das eine unendlich nicht gleich dem anderen unendlich.
Wenn du alle (unendlich viele) Elemente der natürlichen Zahlen aus denen (unendlich vielen) der ganzen Zahlen rausstreichen würdest, würden die ganzen negativen Zahlen übrig bleiben. Also auf jeden Fall nicht Null!

Liebe Grüße

Kommentar von bading ,

Nein. -unendlich = alle negativen Zahlen

+unendlich = alle positiven Zahlen

alle positiven zahlen zsm mit allen negativen zahlen = 0

Antwort
von steineinhorn, 64

unendlich ist ja schon nicht klar als irgendetwas definiert, wenn ich also etwas nicht definiertes von etwas nicht definiertem abziehe, wieso sollte es plötzlich klar als zahl definiert sein?

Antwort
von Patronus49, 40

Ich glaube das liegt daran dass es "grössere" und "keinere" unendlichkeiten gibt z.b zwischen den Zahlen 1 und 2 gibt es 1,1 und 1,11 und 1,111 usw.. also unendlich, 

Zwischen 1 und 100 gibt es aber genau so unendlich viele zahlen aber diese Unendlichkeit könnte man als "grösser" bezeichnen, da zwischen 1 & 2 natürlich weniger abstand ist 

Ich könnte falsch liegen ist nur so ein gedanke.. :-)

Antwort
von JupStrunk, 50

"Unendlich" ist undefiniert, also kann das Ergebnis auch nur undefiniert sein !!! ;)

Antwort
von Tannibi, 33

Mit ∞ kann man nicht rechnen wie mit einer Zahl. ∞/∞ ist auch nicht 1.
0/0 übrigens auch nicht.

Mal angenommen, ∞ wäre eine Zahl -

wieviel ist dann ∞+1?

Antwort
von HamiltonJR, 47

weil unendlich keine Zahl ist und auch in Intervallangaben immer mit der runden Klammer ausgeschlossen wird...

Antwort
von Eeyou, 63

Weil es unterschiedliche Arten von Unendlichkeiten gibt. Es kann sein, dass eine von beiden eine größere Mächtigkeit hat.

Antwort
von Omnivore11, 3

Weil Unendlich keine konkrete Zahl ist.

5*Unendlich ist Unendlich. 10*Unendlich ist auch Unendlich.

Aber hier kann man nicht das eine von anderen Unendlichen abziehen.

Antwort
von Kungfukuh, 2

Angenommen oo - oo = 0, dann gilt: oo = oo.

Daraus folgt: oo+1 = oo = oo+2, und damit 1=2.

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