Frage von MatiFragt, 47

Warum hat √16 in einer Wurzelgleichung 2 Lösungen, aber sonst nicht?

Hallo Leute, wie ihr sicher wisst, hat √16 in einer quadratischen Gleichung (Wurzelgleichung) 2 Lösungen. Hier:

x^2=16 √x^2=√16 x=+4;-4 L= {+4;-4}

Aber sonst hat sie keine zwei Lösungen, das ist so vorgeschrieben von Mathematikern, weil sonst Ergebnisse viel zu unrealistisch sind und von den realistischen Ergebnissen viel zu weit auseinander lägen. In normalen Rechnungen gilt immer: √16=+4 (nicht -4, weil vorgeschrieben) z.B: 10+√16= 10+(+4)= 10+4= 14 {nicht +(-4), weil vorgeschrieben} Warum hat denn jetzt √16 bei einer quadratischen Gleichung 2 Lösungen, also +4;-4, und sonst immer nur die positive, also +4?

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, 18

Bisher sind beide Teile der Antwort genannt worden, jedoch nie beide in derselben Antwort.

Die Wurzel in Gleichungen bedeutet allgemein eine Zahl, deren Quadrat der Radikand ist - egal welche Zahl das ist. (In Gleichungen muss man alle Lösungen mitnehmen.)

Die Wurzel als Funktion sollte eindeutig definiert sein, deshalb muss man sich für eines der möglichen Vorzeichen entscheiden. (Und da liegt das positive Vorzeichen natürlich näher.)

Probleme dieser Art gibt es mehrere; ich weiß nicht, inwieweit du das nötige Vorwissen hast, die Fragestellungen zu verstehen.

Kommentar von MatiFragt ,

Ich habe ein Video auf YouTube gefunden, in dem ein Typ das anders erklärt. Ich sende eine Frage mit einem Bild dazu.

Expertenantwort
von Suboptimierer, Community-Experte für Mathe, 31

Da x² = (-x)² ist, musst du zwei Fälle unterscheiden.

√(x²) = √(16)
x = 4

und 

√((-x)²) = √(16)
-x = 4 | *(-1)
x = -4
Kommentar von MatiFragt ,

Aber (-x)^2 ist ja wieder +x^2. Warum ist es bei dir dann -x in deiner Rechnung?

Kommentar von MatiFragt ,

Also es muss x^2 sein unter der Wurzel

Kommentar von Suboptimierer ,

Wenn die Gleichung für x erfüllt ist, dann auch für -x, denn (-x)² = x².

Somit müssen beide Varianten durchgespielt werden.

Abkürzend wird geschrieben, dass x = +/- Wurzel(16) ist.

Antwort
von DampfLibelle749, 47

Weil in einer Lösungsmenge immer ALLE möglichen Lösungen angegeben werden müssen

Antwort
von precursor, 26

√(16) hat immer 2 Lösungen.

Probe -->

-4 * -4 = 16

und

+4 * +4 = 16

Kommentar von Suboptimierer ,

√ 16 ist immer nur +4

Kommentar von Oubyi ,

√(16) hat immer 2 Lösungen.


FALSCH!
Das Ergebnis einer Quadratwurzel ist NUR der positive Wert.

https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel\_(Mathematik)

Zitat:
"Obwohl die eingangs genannte Fragestellung bei geradzahligen
Wurzelexponenten und positiven Radikanden zwei Lösungen mit
unterschiedlichen Vorzeichen besitzt, steht die Schreibweise mit dem Wurzelzeichen   grundsätzlich für die positive Lösung."



Kommentar von precursor ,

Ok, danke für die Info !

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