Frage von lsfarmer, 64

Warum habe ich hier negative werte raus?

Ich habe diese Gleichung versucht mit substitution zu lösen:

x hoch4 −17x hoch2 +16 = 0

Ich erhalte aber für meine z z1= -1 und z2 = -16

Habe ich falsch gerechnet oder lässt sich diese wirklich nicht lösen?

Antwort
von EstherNele, 3

Du hast eine 4-te Potenz, also musst du 4 Nullstellen herausbekommen bzw. hast Doppelnullstellen.

Da du die 4-te Potenz aber nicht über die gängigen Formeln ausrechnen kannst, wendest du einen Trick an - du substituierst die Potenzen, berechnest die Nullstellen und substituierst zurück.

Okay - am Beispiel ...

x hoch4 −17x hoch2 +16 = 0   ===>  andere Schreibweise:

x²*x² - 17*x² + 16 = 0    =====>  x² ersetzt du durch z

z² - 17*z + 16 = 0

pq-Formel verwenden

allgemein:  x² + px+q = 0   und x1/x2 = -p/2 +/- Wurzel ((-p/2)² - q)

Einsetzen und auf die Vorzeichen achten
bei dir ist p = -17,     also ist  - p/2 = +17/2

z1/z2 = (+17/2) +/- Wurzel (17²/4 - 16)

z1/z2 = (+17/2) +/- Wurzel (289/4 - 64/4)

z1/z2 = (+17/2) +/- Wurzel (225/4)

z1/z2 = (+17/2) +/- (15/2)

z1 = 17/2 + 15/2 = 32/2 = 16

z2 = 17/2 - 15/2 =2/2 = 1

Jetzt musst du die Substitution natürlich noch zurückführen.

Für die beiden z-Werte musst du jetzt wieder x² einsetzen.

Daraus bekommst du  einmal  

z1 = x² = 16   ===> x1/2 = +/- Wurzel 16 = +/- 4

x1 = +4  und x2 = - 4

z2 = x² = 1    ====> x3/x4 = +/- Wurzel 1 = +/- 1

x3 = +1   und  x4 = -1


Zur Überprüfung der Richtigkeit setzt du die Werte einfach in die Ausgangsgleichung ein. Wenn die Gleichung dann stimmt, hast du richtig gerechnet

x^4 - 17*x² + 16 = 0    für   x = 4

4² *4² - 17*4² + 1*4² = 0

4² * (16 - 17 + 1) = 0

4² * 0 = 0

(Ich habe mir die Rechnerei mit großen Zahlen erspart und habe die Potenzen so in Faktoren zerlegt (bzw aus der 16 auch noch eine 4-er Potenz gemacht), dass ich ohne große Rumrechnerei ganz easy durch Zusammenfassen zu einer Lösung komme.

Für x= -4 brauchen wir die Kontrolle nicht zu rechnen, da wir nur gerade Potenzen haben, kommt die genau gleiche Rechnung wie bei +4 raus.

Jetzt müsste man das ganze noch für x= 1 überprüfen ... passt aber.

Du siehst, du hast jetzt durch den Trick mit der Substitution alle vier Nullstellen ermittelt.

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Mathematik, 6

Ich für meinen Teil pflege quadratisch zu ergänzen:

(1.1) x⁴ – 17x² + 16 = 0                           |    ξ :=x²
(1.2) ξ² – 17ξ  + 16 = 0                            | –16
(1.3) ξ² – 17ξ = –16                                 | + 72,25
(1.4) (ξ – 8,5)² = 56,25 = (7,5)²               | »Wurzel ziehen«
(1.5) ξ – 8,5 = ±7,5                                  | +8,5
(1.6) ξ₁ = +16; ξ₂ = +1

Wäre da »ξ + 8,5« gestanden, so hättest Du diese abziehen müssen, und die Nullstellen wären bei ξ₁ = –1; ξ₂ = –16 gewesen.

In diesem Falle hättest Du nur imaginäre Nullstellen für x, und so Du für x nur reelle Werte zulässt (was üblich ist, sonst würde man z sagen, und genau deshalb habe ich hier auch ξ ver für x² wendet), hätte diese Funktion keine Nullstellen gehabt.

Bei einer geraden Funktion geht das, sie kann komplett unter oder über der x-Achse liegen.

Jedenfalls hast Du irgendwo 8,5 subtrahiert statt addiert.

Antwort
von Schachpapa, 32

Wenn du die PQ Formel angewendet hast, hast du vermutlich mit -8,5 statt 8,5 für -p/2 gerechnet. p ist -17 , davon die Hälfte ist -8,5 das mal minus 1 ist plus 8,5

Deshalb hast du negative Werte erhalten

Kommentar von lsfarmer ,

warum mal-1??

Kommentar von Schachpapa ,

minus p/2

Kommentar von lsfarmer ,

kommt immer noch total krummer müll raus.

HILFE!

Kommentar von lsfarmer ,

da kommt unter der wurzel bei mir 9.39 raus.

Kommentar von Schachpapa ,

Muss ich dir das wirklich genau aufschreiben???

0 = x^2 - 17x + 16

p = -17    (minus 17)     q = +16  (plus 16)

x12 = -p/2 +- wurzel((p/2)^2 - q)      Einsetzen

x12 = 8,5 +- wurzel( 8,5^2 - 16)

x12 = 8,5 +- wurzel (72,25 - 16)

x12 = 8,5 +- wurzel(56,25)

x12 = 8,5 +- 7,5

x1 = 1    x2 = 16

PS: Sehe gerade, dass ich immer x statt z geschrieben habe, habe aber jetzt keine Lust das zu berichtigen. Muss auch so gehen.

Kommentar von lsfarmer ,

ist das entscheidende drin. ;D

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathematik, 38

Doch, diese Gleichung lässt sich lösen:

0 = x⁴ - 17x² + 16

z := x²

0 = z² - 17z + 16

abc-/pq-Formel: z₁ = 16; z₂ = 1

x = ±√z

x₁ = √16 = 4
x₂ = -√16 = -4
x₃ = √1 = 1
x₄ = -√ = -1

Also: IL = {-1; -4; 1; 4}

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Kommentar von lsfarmer ,

Und nochmal für dumme bite mit schritten.

Kommentar von Willibergi ,

Kennst du die abc- oder pq-Formel?

LG Willibergi

Kommentar von lsfarmer ,

ja aber ich verstehe das hier nicht mit weg

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