Frage von klasf, 22

Warum gilt, dass die kinetische Energie E_{kin} = 1/2 m_ges*v_s^2 + Summe(1/2 m_i*u_i^2) ist?

Hi

Warum gilt, dass die kinetische Energie

E_{kin} = 1/2 m_ges*v_s^2 + Summe(1/2 m_i*u_i^2)

ist, wobei

  • v_s = Mittelpunktsgeschwindigkeit,
  • u_i = Geschwindigkeit relativ zum Mittelpunkt (Geschwindigkeit im Mittelpunktsystem)

ist?

thx

Expertenantwort
von SlowPhil, Community-Experte für Physik, 3

Ich schreib's mal um, z.B. E_{kin} → Eₖ, m_ges → M

Warum gilt, dass die kinetische Energie
Eₖ = ½ M·vₛ² + ½∑(mᵢ · uᵢ²)
ist,…

Die Formel für die kinetische Energie gilt so nur im Newton-Limes v≪c, weil sich dann Geschwindigkeiten vektoriell addieren. Wie streng sie überhaupt gilt, kann man am ehesten anhand einfacher Beispiele überprüfen.

Angenommen, zwei Körper (Massen

m₁ = m    und    m₂ = αm

mit einer positiven Zahl α) bewegen sich mit einer gemeinsamen Geschwindigkeit

vₛ = (vₛ; 0; 0),

die von den Geschwindigkeiten uᵢ relativ zum Schwerpunkt überlagert werden, welche so sein müssen, dass die Impulse p und –p sind:

u₁ = p/m₁ = p/m = αu   und    u₂ = –p/m₂ = –p/αm = –u.

Wenn die u quer zum vₛ liegen, also die Gesamtgeschwindigkeiten

v₁ = (vₛ; αu; 0) und v₂ = (vₛ; –u; 0),

sind, dann ist die kinetische Energie nach dem Satz des Pythagoras

Eₖ = ½·m·[(vₛ² + α²u²) + α·(vₛ² + u²)] = ½·(m+αm)·vₛ² + ½·(αm·u²+m(αu)²)
     = ½·(m₁+m₂)vₛ² + ½·(m₂·u²+m₁(αu)²),

also funktioniert hier die Formel.

Es ist natürlich die Frage, ob das auch dann noch gilt, wenn die Geschwindigkeiten ulängs zu vₛ sind, also

v₁ = (vₛ+αu; 0; 0) und v₂ = (vₛ–u; 0; 0),

da die Beziehung zwischen Geschwindigkeit und kinetischer Energie nicht linear ist. Hier ist

Eₖ = ½·m·[(vₛ² + 2vₛαu + α²u²) + α·(vₛ² – 2vₛu + u²)]
     = ½·m·[(vₛ² + α²u²) + α·(vₛ² + u²)] = ½·(m+αm)·vₛ² + ½·(αm·u²+m(αu)²)
     = ½·(m₁+m₂)vₛ² + ½·(m₂·u²+m₁(αu)²),

also funktioniert auch hier die Formel.

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