Frage von Rihanna10701070, 80

Warum gibt es bei sin(α)=0,21 zwei alpha werte α?

Bei mein Arbeitsblatt steht

sin(α)=0,21 und daneben steht α= ..... oder α....

aber warum dieses "oder" ? warum gibt es zwei Möglichkeiten ? ich hab jetzt geschrieben als ein α Wert 12 Grad aber ich weis nicht warum es eine zweite Möglichkeit gibt.

Bitte hilft mir :(

Antwort
von ELLo1997, 16

Es gibt sogar nicht nur 2 sondern unendlich viele! Die 2 die im Bereich von 0° - 360° liegen heißen Hauptwerte, und diese werden üblicherweise abgegeben.
Warum gibt es 2? Stell dir den Einheitskreis vor bzw zeichne ihn. Der Sinus ist ja als y-Koordinate eines Punkts am Einheitskreis definiert. Das heißt du zeichnest an der y-Achse einmal den Wert 0,2 ein.  Nun siehst du, dass in der Tat 2 Punkte am Einheitskreis existieren, die als y-Koordinate diesen Wert haben. (siehe Bild) Das ist für jeden Sinus, Cosinus und auch Tangens so, dass es 2 Hauptwerte gibt. Dabei ist :
sin(α) = sin(180° - α)
cos(α) = cos(-α)
tan(α) = tan(α + 180°)
Hoffe, dass ich helfen konnte.
Lg

Antwort
von Peter42, 36

mal angenommen, die herausgefundenen "12 Grad" stimmen (hab' ich nicht nachgerechnet), dann gehört noch ein weiterer Winkel dazu, nämlich der zu 180-alpha (= 168 Grad in dem Beispiel). Und weiterhin kann man zu beiden Winkeln beliebige Vielfache von 360 Grad hinzuaddieren und würde für jeden dieser Winkel wieder sin(...) = 0,21 herausbekommen. Das liegt daran, dass die Sinusfunktion zu den periodischen Funktionen gehört.

Kommentar von Rihanna10701070 ,

Vielen vielen Dank !!!!

Gibt es ein bestimmten Grund,warum man 180-alpha macht ?

Kommentar von Peter42 ,

das liegt an der Definition des "Sinus". Wird eine solche Aufgabe z.B. mit dem Cosinus gestellt, dann gilt "180 - alpha" nicht.

Kommentar von Volens ,

Das liegt daran, dass man beim Einheitskreis den Sinus von α als y-Wert ablesen kann. Wenn du jenseits von 90° denselben y-Wert haben willst, ist der Winkel genau (180° - α).

Der Kosinus liegt auf der x-Achse. Um denselben cos zu bekommen, musst du sogar bis (360° - α) gehen.

Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 8

Es gibt nicht 2, sondern unendlich viele Lösungen dieser periodischen Funktion:
sin(x)=21/100 | Umkehrfunktion
x[n]=2*Pi*n+asin(21/100) , n=ganzzahlig
x[n]=2*Pi*n+Pi-asin(21/100) , n=ganzzahlig

n  | x in rad
-2 | -12.35479565460107734004155068...
-1 | -6.071610347421490863116263902...
0 | 0.2115749597580956138090228705...
1 | 6.494760266937682090734309643...
2 | 12.77794557411726856765959642...
...
-2 | -9.636352920527475329196953030
-1 | -3.353167613347888852271666257
0 | 2.930017693831697624653620516
1 | 9.213203001011284101578907289
2 | 15.49638830819087057850419406
...

Wer noch mit der veralterten Einheit Grad [°] rechnet, muss x mit dem Faktor
180/Pi=57,2957795130823208767981548141...
multiplizieren!

Periodisch bedeutet: man dreht sich im Kreis -> der Winkel wird dabei immer weiter hochgezählt. n bedeutet dabei, wie oft man sich im Kreis gedreht hat.

Ohne Randbedingungen kann man bei der Angabe "Ergebnis war =0.21" nicht sagen, wie oft zuvor gedreht wurde

Expertenantwort
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 11

Man kann sich das auch grafisch veranschaulichen. Der Plotter unter

http://www.gerdlamprecht.de/Liniendiagramm_Scientific_plotter.htm

kann mehrere Kurven zeichnen. Neben sin(x) lautet die andere einfach 0.21

zusammen: f1(x): aB[0]<1?0.21:sin(x)

mit Abbruch bei aB[0]>1

Der Schnittpunkt beider Kurven ist die gesuchte Lösung.

Bei Punkte=auto zeigt der Button "Tangente" auch das Werte-Paar an

siehe Bild

Alles natürlich in den SI-Einheiten, da sin und asin unendliche Summen sind.

{in Grad lautet die Formel: aB[0]<1?0.21:sin(x*PI/180)  }

Deine 12° sind ja extrem gerundet.

0.21157495975809561380902287...*180/Pi

=  12.122352244789111141769993... °

Bei Angabe von 2 Nachkommastellen, sollte man mindestens auch 2 Stellen antworten: 12.12 °

Kommentar von hypergerd ,

oder nur 1 Kurve f(x)=sin(x)-0.21

Die Verschiebung nach unten bedeutet Lösung beim Schneiden der x-Achse.

Antwort
von ELLo1997, 11

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