Frage von Samy7, 60

Warum Gegenereignis bei logarithmus?

Warum muss ich das Gegenereignis für sen Logarithmus verwenden (bei Stochastik) und nicht einfach die normale Wahrscheinlichkeit für des Ereignis?

Bsp. Wenigstens eine Rote Kugel bei n-Ziehungen: 0.4 wahrscheinlichkeit Gegenereignis: 1-0,6 Und dieses nimmt man dann für logarithmus warum nicht direkt 0,4? Warum kommt dann auch ein anderes Ergebnis raus?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe, 18

Achtung, es folgt viel Theorie, die ziemlich eklig zu lesen ist. Für das Verständnis, warum man über die Gegenwahrscheinlichkeit geht, ist es jedoch wichtig, dies zu verstehen. Am Ende folgt ein verständlicheres Anwendungsbeispiel, welches sich an der theoretischen Vorgehensweise orientiert.


Sei X die Zufallsgröße.

Sei die Aufgabenstellung Wie viele Kugeln müssen mindestens gezogen werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens k% mindestens eine rote Kugel zu ziehen?

Sei q die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen.

Die Kugeln werden jedes mal zurück gelegt.


Dann ergibt sich für die Lösung:

P(X>=1) >= k/100       (mindestens eine rote Kugel, mindestens k%)

Nun stelle man sich einen Strahl vor, welcher die Anzahl der gezogenen roten Kugeln angibt:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10... bis unendlich

P(X>=1) beinhaltet  alle Zahlen von 1 bis unendlich. Damit kann man nicht wirklich rechnen. Praktischerweise gibt es da noch das Gegenereignis:

P(X>=1) ist nämlich nichts anderes als 1-P(X=0). Das macht man sich am besten am Zahlenstrahl klar: 

Ich will die Wahrscheinlichkeiten für alles ab 1. Wenn ich also von der Summe aller Wahrscheinlichkeiten (1) einfach nur die Wahrscheinlichkeit für 0 abziehe, hab ich die Wahrscheinlichkeiten für alles ab 1, da ich alle Wahrscheinlichkeiten abgezogen habe, die nicht dazu gehören.


Die nachfolgenden Schritte folgen aus diesen Überlegungen:

1-P(X=0) >= k/100 | -1

-P(X=0) >= (k-100)/100 | *(-1)

P(X=0) <= (-k+100)/100

Man beachte, dass sich im letzten Schritt die Ungleichheit gedreht hat!


Nun setzt man P(X=0) in eine Bernoullikette mit Länge n, k=0 und p=q um:

(n über 0) * q^0 * (1-q)^(n-0) = (-k+100)/100


n über 0=1 , q^0=1, es folgt:

(1-q)^n <= (-k+100)/100 | log

Logarithmusgesetz: log(a^b)=b*log(a)

n*log(1-q) <= log([(-k+100)/100])  | :log(1-q)

n>= log([(-k+100)/100]) / log(1-q)

(die Ungleichheit dreht sich zum Schluss wieder!)


Nach dieser schrecklichen Theoriephase nun ein Anwendungsbeispiel:


In einer Urne befinden sich 8 rote und 3 gelbe Kugeln. Wie viele Kugeln müssen (mit Zurücklegen) mindestens gezogen werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% mindestens eine gelbe Kugel zu ziehen?


Ansatz:

P(X>=1) >= 0.95

1-P(X=0) >=0.95 | -1

-P(X=0) >= -0.05 | *(-1)

P(X=0) <= 0.05

(n über 0) * (3/11)^0 * (8/11)^(n-0) <= 0.05

(8/11)^n <= 0.05 | log

n*log(8/11) <= log(0.05) | :log(8/11)

n >= log(0.05)/log(8/11)

n >= 9.4071194
--> n>=10


Überprüfen wir das Ergebnis mit dem Theorieansatz von oben:

Hier sind jetzt:

q=3/11

k=95


n>=log([(-k+100)/100]) / log(1-q)

Zahlen einsetzen:

n>=log([(-95+100)/100]) / log(1-[3/11])

n>=log(0.05)/log(8/11),

also stimmt sogar mein Theorieansatz von oben.






Kommentar von Samy7 ,

Ich habe es ein Stück weit verstanden jedoch rechnen wir ohne diese  Bernoulliskette, welche ich auch nicht nachvollziehen kann, da bei der beschreibung im internet für das Gegenereignis gesagt wird k wird zu null und somit alles zu 1. N durch k ist jedoch n durch null  und dies wiederrum ergibt null wodurch 0 mal 1 mal gegenereignis auch null ergibt, das macht doch keinen sinn wie diese sich erstellt? 

Siehe hier:

http://matheguru.com/stochastik/164-bernoulli-kette.html

Aber das Gegenereignis ist doch das selbe wie wenn ich 0,4 hinschreibe anstatt 1-0,6, ich verstehe diesen unterschied nicht, somit habe ich doch auch alle anderen warscheinlichkeiten ausgeschlossen egal wie rum. Also ich kenne diese kette nicht und klar diese kette (wenn sie wenigstens stimmen würde also die unwandlung zum gegenereignis da 0 rauskommt) kann man somit umwandeln aber es muss doch auch eine erklärung ohne kette geben weil ich schließe ja wie gesagt des andere ereignis so oder so aus egal wie rum

Kommentar von MeRoXas ,

Lass dich durch meine Bezeichnungen nicht verwirren, die habe ich tatsächlich etwas sehr ungünstig gewählt : mein k ist nicht das k, was sonst standardmäßig in der Kette genutzt wird, ich habe für diesen Wert direkt 0 eingesetzt. N über k ist außerdem NICHT n durch k, da bitte mal googlen.

Kommentar von Samy7 ,

https://de.serlo.org/mathe/stochastik/uebersicht-aller-artikel-zur-stochastik/be...

Gibt trotzdem 0, da n durch k(n-k) doch null ergibt?

Ich versteh trotzdem nicht den unterschied von 1-6 durch 10 oder 4 durch 10

Kommentar von Samy7 ,

Habe die ausrufe zeichen übersehen; ja kommt 1 raus.

Trotzdem versteh ich den unterschied nicht von gegenereignis und normales

Kommentar von MeRoXas ,

Aber das Gegenereignis ist doch das selbe wie wenn ich 0,4 hinschreibe 
Stimmt.

ich verstehe diesen unterschied nicht,Da ist keiner.

Du könntest diese Aufgabenart auch ohne Bernoulli-Kette rechnen. Ist aber sehr mühselig und hat keinen wirklichen Vorteil, da es per Bernoulli schneller geht.

Kommentar von MeRoXas ,

Erkläre ich dir später, bin grad unterwegs.

Antwort
von Kaenguruh, 18

Weil Du nur bei Ereignissen die mit "und" verknüpft sind die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten multiplizieren kannst. Also zum Beispiel im ersten Zug eine rote UND im zweiten eine rote UND im dritten. Dann mußt Du die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren, also 0,4 * 0,4 * 0,4 (wenn die Wahrscheinlichkeit für eine rote jeweils 0,4 ist) . Wenn die Ereignisse aber mit "ODER" verknüpft sind, mußt Du sie in eine "UND"-Verknüpfung umwandeln. Also anstatt "im ersten Zug eine rote ODER Im zweiten Zug ODER im dritten Zug" mußt Du rechnen: NICHT "im ersten KEINE rote UND im zweiten KEINE rote". Denn "mindestens eine rote" heißt ja nichts anderes als "NICHT KEINE rote". Warum aber muß man die Wahrscheinlichkeiten bei Ereignissen die mit UND verknüpft sind multiplizieren ? Nehmen wir an, Du wirfst 3 mal eine Münze und willst die Wahrscheinlichkeit, daß Du immer Zahl hast. Dann gibt es pro Wurf 2 Möglichkeiten,also 2 * 2*2 . Es ist aber nur eine günstig, also ist die Wahrscheinlichkeit 1/8 oder eben 1/2 * 1/2 * 1/2, das heißt das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 25

ohne die Aufgabe zu kennen, ist das m.E.  kaum zu beantworten.

Antwort
von Wechselfreund, 4

Schreib erstmal die Aufgabenstellung in verständlicher Form auf!

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