Frage von jemand3, 19

Warum darf man mit Benoulli auch Experimente mit zurücklegen berechnen?

Bei der Benoulli-Formel (n über k)(p^n)(1-p)^n-k ist der binomialkoeffizient dabei, den darf man aber eigentlich nur bei Experimenten ohne zurücklegen benutzen. Warum kann ich dann mit der Formel bspw. ausrechnen wie wahrscheinlich es ist, das bei 5 Versuchen "Kopf oder Zahl" 3 mal Kopf kommt?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 8

Hallo,

die Bernoulli-Formel wird bei Zufallsexperimenten mit Zurücklegen benutzt, bei denen sich die Wahrscheinlichkeit nicht nach jedem Ziehen ändert. Bei sehr großen Ausgangsmengen, etwa bei Stichproben, kann man sie auch bei Experimenten ohne Zurücklegen benutzen, wenn die Stichprobe im Verhältnis zur Ausgangsmenge sehr klein ist. Ansonsten bedient man sich bei Experimenten ohne Zurücklegen der hypergeometrischen Verteilung.

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathematik, 10

Wenn du dir das zugehörige Baumdiagramm vorstellst, hast Du ja mehrere Pfade, die zu dem gewünschten Ereignis "3 mal Kopf" führen.

Der BK gibt in der Formel genau die Anzahl dieser Pfade an.

Oder anders: Mit dem BK kannst Du die Anzahl der Möglichkeiten berechen, aus einer 5-elementigen Menge eine 3-elementige Teilmenge auszuwählen. (Du hast 5 Würfe/Positionen, an 3 Positionen soll K stehen).

Weiter zu Deiner Frage: Für jeden der ausgewählten Pfade hast Du dieselbe Wahrscheinlichkeit, namlich: 3 mal Kopf (= p^k), 2 mal Zahl (=(1-p)^(n-k)). Es ändert sich lediglich die Reihenfolge der Faktoren.

[In Deiner Formel hast sich ein Tippfehler eingeschlichen; es muss p^k heißen.]

Warum solle man einen BK nur bei Experimenten ohne Zurücklegen benutzen dürfen? Direkt wird damit ja keine Wkeit, sondern eine bestimmte Anzahl von Möglichkeiten berechnet.

Sie ist also ein Hilfsmittel, um zu der gewünschten Wkeit zu kommen.
Bei der hypergeometrischen Verteilung hast Du einen anderen Denkansatz, der ausschließlich über die Anzahl von Möglichkeiten geht. Deshalb kommen in dieser Formel auch 3 BK vor.

Kommentar von jemand3 ,

Aber nicht nur die Wahrscheinlichkeiten, sonder auch die Bäume ändern sich doch bei zurücklegen und nicht zurücklegen.

Also bspw. wenn man eine Urne hat mit 3 weißen und 3 schwarzen Kugeln. Dann hat man einen Baum mit 6 Pfaden auf der ersten Stufe. Entnimmt man eine Kugel, so haben die Teilbäume auf dieser Stufe 5 Pfade usw.

Deshalb berechnet man ja auch 5! also 6*5*4*3*2*1 weil das die Anzahlen der Pfade auf den Stufen sind und dann teilt man hinterher durch die, die man nicht braucht.

Wenn man die Kugel jetzt zurücklegt, hat man ja auf der 2. Stufe wieder 6 Pfade, das heißt die Anzahl müsste sich doch eigentlich ändern oder?

Kommentar von KDWalther ,

Du hast jetzt einen sehr umfangreichen Baum gezeichnet - den man erheblich vereinfachen kann. Du unterscheidest ja nur zwischen weiß und schwarz. Insofern kannst Du auch jeweils 2 Zweige abgehen lassen - für die sich aber (wie von Dir beschrieben) die Wkeiten ändern, jenachem, bei welchem Zug Du gerade bist und welche Kugeln bereits gezogen wurden.

Bei Deinem Baum hat jeder einzelne Pfad (vom ersten bis sechsten Zug) dieselbe Wkeit (Laplace-Experiment). Daher kann Du die Wkeit für ein bestimmtes Ereignis (z.B. 2 x weiß) gemäß der Regel Anzahl der günstigen Wege / Anzahl der möglichen Wege bestimmen.

Dann umgehst Du den Binomialkoeffizienten.

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