Warum addiert man bei der Berechnung des Winkels α im Rahmen der Umrechnung von der kartesischen Form zur Polarform für z E Q1 und z E Q3 den gleichen Wert 180?

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2 Antworten

Weil der Winkel α mit der gewöhnlichen Arkustangensfunktion berechnet wird. Diese lieferte aber nur Werte im Bereich von -90° bis +90° zurück. Damit wird dann auch nur Q2 und Q4 erreicht. Für Q1 bräuchtest Du Werte von 90° bis 180° und für Q3 Werte von -90° bis -180°

Es gibt aber Abhilfe. Da der Arkustangenswert in der Regel bei solcherlei Umrechnungen aus einem Quotienten y/x berechnet wird, ist der korrekte Quadrant ja immer noch in den Vorzeichen von y und von x kodiert. Damit die Quadranteninformation nicht verloren geht ist in vielen Programmiersprachen und sogar in Excel die Spezialfunktion

atan2(x,y)

implementiert. Es wird als Argument dann nicht der fertige Quotient übergeben, sondern in Wahrheit die Koordinaten. atan2(x,y) liefert dann tatsächlich Werte im Bereich von -180° bis +180° zurück. Dann braucht man sich über den richtigen Quadranten keinen Kopp mehr machen.


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Um aus der kartesischen Form die Polarform zu erhalten, wird der Winkel alpha aus arctan ( Imaginär-Anteil / Real-Anteil ), einfacher arctan ( i / r ) berechnet. So einfach ist das aber nicht, denn es gilt

alpha = arctan(i/r) für r > 0, i beliebig

alpha = arctan(i/r) + PI für r < 0, i >= 0

alpha = arctan(i/r) - PI für r < 0, i < 0

alpha = -PI/2 für r = 0, i < 0

alpha = PI/2 für r = 0, i > 0

alpha = undefiniert für r=0, i=0.

In Ihrer Aufgabe galt wohl der zweite Fall, weshalb auf arctan(i/r) die Zahl PI addiert werden muss. Rechnet man nicht im Bogenmass sondern in Grad, dann entspricht PI halt 180 Grad.

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