Frage von binomische, 21

Wann lässt man bei einer Folge n gegen Unendlich oder Null laufen?

Antwort
von Shalec, 6

Hey,

diese Betrachtungen haben unterschiedliche Ursachen. Zunächst zur Klärung deiner Aussage in der Frage: Du meinst vermutlich warum man lim_{n -> unendlich oder 0} schreibt. 

Wenn du das Verhalten einer Folge im Unendlichen analysieren willst, also wissen willst ob diese unendlich groß wird, oder irgendwann stationiert (d.h. sie nähert sich einem Wert kleiner als unendlich an) wird der Grenzwert betrachtet. Diesen ermittelst du durch lim_{n -> unendlich} und setzt (in der Schule) häufig "unendlich" in die Folge ein. 

Beispiel:
Die Folge x_n = n wird unendlich groß für n -> unendlich.

Die Folge x_n = 1/n nähert sich 0 an, für n -> unendlich.

Die zweite gewählte Folge liefert aber direkt einen Grund, warum man auch n -> 0 betrachten kann. Welchen Wert nimmt die Folge x_n = 1/n für n=0 an? Durch 0 teilen darf man ja bekanntlich nicht ;-) Deshalb guckst du dir an, wie sich die Folge in einer möglichst kleinen (wissenschaftlich: infinitesimal) Umgebung von 0 verhält. Dafür nutzt du dann

lim_{n -> 0} 1/n

Wenn du bereits sog. Nullfolgen kennst, lassen sich an dieser Stelle auch tricks verwenden. Eine Nullfolge ist so definiert, dass sie für n -> unendlich den Wert 0 annimmt. Wenn nun y_n eine beliebige Nullfolge ist, dann lässt sich der Trick:
lim_{n -> 0} 1/n = lim_{n -> unendlich} 1/y_n 
anwenden. 

Diese Grenzwertbetrachtungen liefern Dir erst in späteren Betrachtungen (Polstellen, Singularitäten, Integralrechnung) einen wichtigen Nährboden. 

Also nochmal zusammen gefasst: Du betrachtest n -> unendlich, wenn du das Verhalten im Unendlichen erfahren möchtest, also den Grenzwert brauchst.
Du betrachtest n -> 0 (oder eine beliebige andere Zahl kleiner als unendlich und größer als - unendlich), falls du an irgend einer Stelle durch 0 teilen würdest und trotzdem gerne wüsstest, wie dieser Wert bei 0 aussieht. (Dadurch lassen sich manchmal Funktionen fortsetzen)

Antwort
von Gastnr007, 12

für unendlich:
f(n+1) = f(n) + x (x>0) oder f(n) * x (x>1)

für null:
f(n+1) = f(n) * x (x<1)

oder meinst du deren Anwendung? Manche Folgen haben das als Eigenschaft, wie z.B. Zinseszins oder Geldwert bei Inflation :)

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