Ich war privat bei einem Arzt. Wann schätzungsweise bekomme ich eine Rechnung von der Krankenkasse?
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Die Rechnung bekommst du von deinem Arzt, vermutlich spätestens zum Quartalsende.

Normalerweise am Ende des Quartals, also Ende Juni Anfang Juli.
Von der Krankenkasse bekommst du keine Rechnung. Wann du die Rechnung von deinem Arzt bekommst liegt daran, wie schnell dieser ist. Im Zweifelsfall frage bei ihm noch mal nach.
Privat beim Arzt bedeutet auch Privatrechnung vom Arzt. Die Krankenkasse spielt hier keine Rolle. Die Rechnungsstellung ist unterschiedlich. Die meisten Ärzte machen aber noch den Fehler und senden Ihre Rechnung zum Quartalsende und bieten Ihren Privatpatienten zusätzliche Valuta.
Man kann aber auch als gesetzlich Versicherter private Leistungen in Anspruch nehmen. Die Professionelle Zahnreinigung ist ein gutes Beispiel. So sinnvoll Sie ist. Die Krankenkasse übernimmt diese Investition in die eigene Gesundheit nur sporadisch. Manche Kassen öffnen sich dahingehend.
In Deutschland gilt die freue Arztwahl. Jeder kann zu jedem Zeitpunkt zu jedem Arzt gehen. Wenn man die Angabe "privat" während des Vorgesprächs mit der Anmeldung/Rezeption macht, sendet der Arzt die Rechnung an den zu Behandelnden.
Dem Arzt steht es frei, wann er die Rechnung stellt. Du solltest aber mit der Rechnung trotzdem zu Deiner Krankenkasse gehen. Vielleicht bekommst Du dann einen Zuschuss zu den Kosten.