Frage von Duke1x, 22

Wann ist die Gerade zur Ebene orthogonal (Vektorgeometrie)?

Hallo Leute :) Habe ein Problem in Mathe und wollte um eure Hilfe bitten. Wir behandeln momentan das Thema Vektoren und die Aufgabe bei der ich Probleme habe geht es um Orthogonalität von Vektoren. Es ist jeweils eine Gerade in Parameterform angegeben. Bsp. aus der Aufgabe (-2|0|1) + t * (3|0|-5) und eine Ebene in Koordinatenform. z.B 2x1+x2+4x3=5 das nun der Normalenvektor zum Ortsvektor vielfach sein muss weis ich allerdings weiß ich nicht genau wie ich das in der Arbeit dann als Rechenweg aufschreiben kann und was alles genau vielfach von was sein muss. Wäre sehr dankbar über einen Rat. Grüße euer Duke1x.

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik, 15

Natürlich kann hier nicht die Vektorrechnung in Gänze erläutert werden, aber auf eins kannst du dich verlassen:
aus der Koordinatendarstellung einer Ebene ist der orthogonale Vektor zu entnehmen. Er besteht aus den Koeffizienten von x₁, x₂ und x₃, bei dir also
< 2 ; 1 ; 4 >.

Eine Gerade, bei der du durch die Anpassung des Parameters des Richtungsvektors (nicht irgendeines Ortsvektors) auf diesen Vektor kommen kannst, ist parallel zur Orthogonalen und damit auch senkrecht auf der Ebene.

Kommentar von Duke1x ,

Danke für die schnelle Antwort. Ich weiß die Frage ist etwas primitiv aber Vielfach bedeutet in diesem Fall Normalenvektor *1 *2 oder sowas das heißt alle 3 Parameter des Vektors müssen gleich groß Vielfache des Normalenvektors sein, habe ich das richtig verstanden ? 

Kommentar von Geograph ,

Ja ;-)

Antwort
von kreisfoermig, 9

Die Normal, n, zur Ebene liest man von der Form

2x₁+x₂+4x₃ = 5

ab. Hier sieht man die Formel 〈(2|1|4), x〉= 5. Daher ist die Richtung in die, sich x bewegt werden muss, um den Wert des Skalarprodukts am schnellsten zu verändern gleich n = (2|1|4). Diese Richtung steht senkrecht zur Ebene, denn, für jede Vektor v auf der Ebene (d. h. v = xy für irgendzwei Punkte x, y ∈ Ebene) gilt

n,v〉 =〈n, xy
=〈n,x〉–〈n,y
= 5 – 5 = 0

da 〈n,z〉= 5 für alle z ∈ Ebene. Sei B eine Vektorbasis der Richtungen auf der Ebene. Dann haben wir bereits bewiesen, dass n ⊥ B. Also folgt

Spann({n}) ⊥ Spann(B).

Andererseits, für alle Punkte im Raum x ∈ V=ℝᵈ (mit d=3), gilt x–cn ∈ Ebene, für c := (〈n,x〉– 5)  /〈n,n〉, da es gilt 〈n,x–cn〉= 〈n,x〉– c〈n,n〉= 5. Daher x ∈ Spann({n}) + Spann(B).

Daraus folgt die Zerlegung Spann(B) (+) Spann({n}) = V. Insbesondere gilt Spann(B)^⊥ = Spann({n}).

Also gilt für alle Vektoren u∈V

u steht senkrecht zur Ebene
u ∈ Spann(B)^⊥ ( = Spann({n}) )
⟺ u ∈ Spann({n})
u ein Vielfach von n.

AUFGABE. Die Gerade fließt in Richtung u = (3|0|-5), was man aus der Parameterisierung

x = (-2|0|1) + t·(3|0|-5)

direkt ablesen kann. Da u = (3|0|-5) kein Vielfach von der Normale zur Ebene n = (2|1|4), steht diese Richtung nach dem Kriterium oben nicht senkrecht zur Ebene. Daher ist die Gerade nicht senkrecht zur Ebene. ⊣

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