Frage von minticious, 59

Wann benutze ich die partielle Integration?

Hallo! :)

Wenn ich ein Integral habe, und zB über e^x oder ln(x) integriere, wobei e^x in einem Produkt steht (zB (x-5)e^x), benutzt man oft die partielle Integration.
Gleiches Beispiel für ln(x).

Nun meine Frage:
Wann mach ich das ansonsten?
Nur bei ln(x) und e^x in einem Produkt mit x? Oder wobei noch?

Danke für die Antworten! :)

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Physik, 58

Die partielle Integration ist immer dann sinnvoll, wenn sich der Integrand so in zwei Faktoren u und v teilen lässt, dass

- von u eine Stammfunktion U bekannt ist (oder sich hoffentlich leichter berechnen lässt als eine Stammfunktion des ursprünglichen Integranden)

- vom  Produkt dieser Stammfunktion U und der Ableitung des anderen Faktoren, v', eine Stammfunktion bekannt ist oder sich leichter ausrechnen lässt als das ursprüngliche Integral.

Ein anderer Fall ist, wenn man durch die partielle Integration wieder auf einen Integranden kommt, der proportional dem ursprünglichen Integranden ist, aber nicht gleich, sodass man nach dem Integral auflösen kann.

Klassisches Schulbeispiel: Die Integrale von (sin(x))^2 und von (sin(x) * cos(x)) - hier kommt man auf Integral = Andere_Funktion - Integral

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 32

Die wird angewendet,wenn die beiden Terme mit x nicht zusammengefasst oder vereinfacht werden können .

Beispiel . Int ( x *sin(x) *dx hier ist nichts mehr zu machen

oder Int ( x *sin(2*x) *dx hier Integration über die "partielle Integration" und Integration durch "Substitution" Z=2*x

Beispiel . Int( sin(x) *cos(x) *dx hier kann man umformen

sin(a) * cos(b)=1/2 * (sin(a-b) +sin(a+b) mit a=b= x ergibt sich

sin(x) *cos(x) = 1/2 * sin(2*x) siehe Mathe-Formelbuch "Produkte von trigonometrische Terme"

oder Int( sinh(x) * cos(x) *dx auch hier eine Vereinfachung

sinh(x) * cosh(x) = 1/2 * sinh(2 *x) siehe Mathe-Formelbuch 

"Hyperbelfun ktion 

Antwort
von doubtandbelieve, 12

Hi Minticious

die partielle Integration ist eine Möglichkeit, Produkte von Funktionen zu integrieren.

Produkte werden differenziert, indem man die Produktregel der Differentialrechnung anwendet:

(uv)'=u'v+uv'.

Um eine analoge Variante zur Integration von Produkten zu finden, stellt man die Produktregel um.

u'v=(uv)'-uv'.

Nun integriert man, erst einmal rein formal den gesamten Ausdruck:

Mit Int(uv)')=uv erhält man:

Int(u'v)= uv-Int(uv').

Jetzt setzt man einen Faktor u', den anderen v. Dann setzt man ein, wendet die Formel an.

Was u' (zu integrieren) und v (zu differenzieren) ist, hängt von den Faktorfunktionen ab.

Bsp. Int(x*exp(x)).

Hier bietet sich an, v=x zu setzen, dann ist v'=x'=1

Mit u'=exp(x) gibt es keine weiteren Probleme, denn dann ist u=exp(x).


Für die Übersichtlichkeit empfiehlt es sich, immer ein kleines Schema mit u, u', v, v' aufzustellen, in unserem Falle also:

         u=exp(x), u'=exp(x)

         v=x,         v'=1

Setzt man ein, erhält man:

Int(x*exp(x)) = x*exp(x)-int(exp(x))

                    = x*exp(x)-exp(x) oder exp(x)*(x-1)


Du kannst die Probe durch Differenzieren machen.


Kommentar von doubtandbelieve ,

Hi Minticious,

ich habe den zweiten Teil deiner Frage nicht gelesen, sorry. Du wolltest wissen, ob die Methode generell oder nur bei bestimmten Faktorkombinationen funxioniert.

Die Methode funktioniert allgemein bei Produkten.

Beispiele sind, die Kombinationen, bei denen ein Teil ein Polynom, der andere eine Expoential- oder Winkelfunktion ist, und je ein Teil eine Exponential- oder Winkelfunktion ist.

Wichtig ist, zu erkennen, welcher Teil u' (muß integrierbar sein) und welcher v ist (wird differenziert).

Kommentar von minticious ,

So ausführlich, danke! :)

Kommentar von doubtandbelieve ,

Wir hatten eine sehr gute Mathe-Vorlesung im Grundstudium, und das an einer eher wenig renommierten Uni.

Es kommt nicht immer auf den Namen der Uni/Hochschule an.

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