Frage von yaprak76, 73

Wahrscheinlichkeitsrechnung mit 8 mal würfeln?

Hallo, ich bin schon lange an einer Wahrscheinlichkeitsaufgabe dran und blicke einfach da nicht durch.. Sie lautet : Ein Würfel wird acht mal geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit - für genau 4 Sechsen -für mindestens 2 Sechsen

ist das Bernoulli? ich verstehe nicht wie man es berechnet, weil man ja 8x würfelt aber nur eine bestimmte Anzahl von Sechsen braucht... ich schreibein 2 Tagen eine Mathearbeit und würde mich rieeeeeesig freuen, wenn einer mir helfen würde.. :)

Danke im Vorraus :)

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 23

Hallo,

das kannst Du über eine Bernoulli-Kette berechnen:

(1/6)^4*(5/6)^4*(8 über 4), denn bei vier Würfen soll eine 6 kommen mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 1/6, bei weiteren vier keine 6 mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 5/6.
Das Ganze multiplizierst Du mit (8 über 4)=70, weil es egal ist, an welchen Stellen der 8 Würfe die Sechsen fallen. So kommst Du auf eine Wahrscheinlichkeit von 0,026=2,6 %.

Bei mindestens zwei Sechsen kannst Du entweder die Summe aller Bernoulli-Ketten für zwei Sechsen bis acht Sechsen bilden oder Du berechnest die Gesamtwahrscheinlichkeit für keine und für eine Sechs und ziehst das von 1 ab, denn Du hast hier das Gegenereignis, das zusammen mit dem Ereignis immer 1 ergibt.

Beide Methoden führen zu dem Ergebnis 0,3953 oder 39,53 %.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von YStoll, 21

Da die Reihenfolge der Ergebnisse egal und unabhängig ist gibt es für "genau 4 Sechsen" insgesamt "8 über 4" = 70 Möglichkeiten. "8 über 4" ist hierbei der Binomialkoeffizient.

Die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln beträgt immer 1/6.
Die Wahrscheinlichkeit keine 6 zu würfeln beträgt immer 5/6.

Die Wahrscheinlichkeit (ohne Berücksichtigung der Kombinationsmöglichkeiten) beträgt also (1/6)⁴ * (5/6)⁴.

Um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten, muss man dies nun noch mit der Anzahl der Kombinationen multiplizieren.

Ein kleiner Tip zu zweiten Aufgabe: Betrachte das Gegenereignis. Dieses besteht aus zwei Ereignissen: keine Sechsen oder genau eine 6. Die Wahrscheinlichkeit dieser beiden Ereignisse lassen sich jeweils genauso berechnen wie das erste. Du musst dann nur ihre Summe von 1 abziehen und hast das Ergebnis.

Antwort
von laurer1234, 34

Versuch mal soein Baumdiagramm zu machen vielleicht, das veranschaulicht das ganze, wobei es beim würfeln ziemlich gross ist... also fang an 1. mal würfeln, möglichkeiten 1, 2, 3, 4, 5, 6 und dann gehen davon zweige ab mit jeweils wieder 1,2,3,4,5,6 und das machst du immer weiter bei jedem zweig, bis du die bedingungen erfüllt hast. Bei dem ersten zweig ist die wahrscheinlichkeit 1/6 eine dieser Zahlen zu Würfeln, schreib an jeden Zweig diesen Bruch dran, danach 2/6 usw., damit du am ende eines zweigs, wo du endlich die bedingungen erfüllt hast, siehst, wie hoch die wahrscheinlichkeit für diese abfolge ist... 

Kommentar von YStoll ,

wobei es beim würfeln ziemlich gross ist

Das hast du gut erkannt. Hier wären zum Glück nur etwas über 2 Millionen Äste zu zeichnen.
Es ist nicht nötig zwischen 1, 2, 3, 4 und 5 zu unterscheiden. Man interessiert sich hier sowieso nur für 6 oder ¬6.

Antwort
von countrypainter, 28

Für genau 4 Sechsen würde ich die Wahrscheinlichkeit mit 1/6^4*5/6^4 berechnen. Die die Position und die Reihenfolge egal sind, in welcher die Sechsen geworfen werden, bestehen keine weiteren Abhängigkeiten. Somit muss 4 mal eine Sechs mit jeweils der Wahrscheinlichkeit 1/6 auftauchen, und 4 mal eine Zahl außer der 6, also 5/6 Wahrscheinlichkeit.

Im zweiten Fall ist nach mindestens 2 Sechsen gefragt, es dürfen aber auch mehr sein. Somit nur 1/6^2.

Kommentar von iokii ,

Nein.

Kommentar von countrypainter ,

du hast recht iokii. Die von mir gegebene Antwort ist falsch. Die Position darf nicht vernachlässigt werden. Somit ist die Aufgabe wohl doch mit dem Bernoulli-Experiment zu lösen.

Antwort
von Amago, 28

Erster Wurf: Wahrscheinlichkeiten:

eine Sechs: 1/6

keine Sechs 5/6

Zweiter Wurf: 

eine Sechs 1/6

keine Sechs 5/6

Dritter Wurf.....

Immer so weiter. Am besten zeichnest du es dir in ein Baumdiagramm mit insgesamt 8 Würfen. Dann markierst du dir alle Wege, bei denen du am Ende insgesamt 4 Sechsen hast. Du kannst auch rechnerisch vorgehen

Mögliche Kombinationen für 4 Sechsen bei 8 Würfen, wobei "0" "keine Sechs" bedeutet:

66660000, 6660600, 6660060, 6660006, immer so weiter

Insgesamt gibt es 1*1*1*1*5*5*5*5 Möglichkeiten, genau 4 Sechsen bei 8 Würfen zu haben, also 25² = 625

Insgesamt gibt es 6*6*6*6*6*6*6*6 verschiedene Ergebnisse, wenn du 8 mal würfelst, jedes mal 6 verschiedene Möglichkeiten pro Wurf halt, 6^8 entspricht.

1.679.616

Wenn nun 1.670.616 die Menge aller möglichen Ergebnisse ist, und du davon eines von 625 brauchst, ist die Wahrscheinlichkeit:

(100*625)/1670616 = 0,03721088629782045419905502210029

Also 3,7 %

MfG

Kommentar von YStoll ,

Deine Berechnung zur Anzahl der Möglichkeiten ist falsch.
Es gibt "8 über 4" = 70 Kombinationsmöglichkeiten.

Außerdem ist der letzte Schritt auch falsch. Da du bereits in der Klammer mit 100 multiplizierst ist 0.0372... bereits das Ergebnis in %.

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