Frage von omapoma1, 27

Wahrscheinlichkeitsrechnung Mathee?

Es werden zwei Glücksräder gedreht. Die Ereignisse sind: Glücksrad A: 1 (P=1/2) , 2 (P=1/2) Glücksrad B: 1 (p=1/2) , 3 (p=1/2) Also alle Ereignisse auf den beiden Glücksräden sind gleichwahrscheinlich.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Summe der beiden Zahlen. Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Standartabweichung dieser Zufallsgröße.

B) Der Spielplan für den Automaten ist: Hauptgewinn = Summe der Zahlen ist 2 ; Auszahlung = X€ Trostpreis = Die Summe der Zahlen ist 5 Auszahlung = 1€ Verloren = sonstiges

Einsatz pro Spiel = 1€ Bestimmen sie die Höhe X des Hauptgewinns so, dass das Spiel fair ist.

Also meine frage ist : Wie berechnet man die Standartabweichung und den Erwartungwert der Zufallsgrösse und wie berechnet man die Aufgabe b?

Antwort
von uncledolan, 3

Aufgabe B):

Gesucht ist der Wert für den Hauptgewinn, damit Erwartungswert der Teilnahme am Gewinnspiel (nennen wir es "G") 1 ---> also gleich Einsatz ist, dann ist das Gewinnspiel "fair". Gesucht ist also:

E(G) = X*P(X) + Y*P(Y) + Z*P(Z) = 1

Hierbei steht X für die Höhe des Hauptgewinns und P(X) für die W'keit des Hauptgewinns. Y steht für Trostpreis und Z für sonstiges.

Was du nun brauchst, sind P(X), P(Y) und P(Z).

Die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse der Summe aus dem Gewinnspiel sind (die sind nicht immer gleichverteilt, aber in diesem Fall sind sie es, du kannst es z.B mit einem Baumdiagramm nachvollziehen):

2 --> p=1/4

3 --> p=1/4

4 --> p=1/4

5 --> p=1/4

Jetzt zuordnen:

P(X) -> erfüllt wenn Summe 5, also P(X) = 1/4

P(Y) -> erfüllt wenn Summe 2, also P(Y) = 1/4

P(Z) -> erfüllt wenn Summe ungleich 2 oder 5, also P(Z)=1/4+1/4=1/2

Jetzt musst du dir noch überlegen, was Y (Gewinn bei Trostpreis) und Z (Gewinn bei nichts) ist. Y=1, Z=0

Jetzt alles in den Gesamtgewinnspielserwartungswert einsetzen:

E(G) = X*P(X) + Y*P(Y) + Z*P(Z) = 1

E(G) = X*(1/4) + 1*(1/4) + 0*(1/2) = 1

X*(1/4) + 1/4 = 1

X*(1/4) = 3/4

X = 3

Der Gewinn beim Hauptgewinn musst also 3€ sein, dann ist das Gewinnspiel fair.

Antwort
von uncledolan, 7

Erwartungswert einer Zufallsgröße = Summe von jeweils Eintrittswahrscheinlichkeit*Ergebnis

E(A) = (1/2)*1 + (1/2)*2 = (1/2) + 1 = 1,5

E(B) = (1/2)*1 + (1/2)*3 = (1/2) + (3/2) = 2

Standardabweichung einer Zufallsgröße = Wurzel der Varianz einer Zufallsgröße (also Summe der quadrierten Differenzen von arithmetischem Mittel (-> Erwartungswert) und allen Ergebnissen)

S(A) = Wurzel[(1,5-1)²+(1,5-2)²] = Wurzel[0,25+0,25] = Wurzel[0,5] = 0,707

S(B) = Wurzel[(1,5-1)²+(1,5-3)²] = Wurzel[0,25+2,25] = Wurzel[2,5] = 1,581

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