Wahrscheinlichkeitsberechnungen und Kombinatorik?
Für den Zugang zu einem Computernetzwerk wird zu Beginn automatisch ein zehnstelliges Passwort generiert. Für jede Stelle des Passworts wird dabei zufällig ein Zeichen aus einem Vorrat von 64 Zeichen gewählt, der auch die 26 Buchstaben des Alphabets umfasst. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Passwort lauter verschiedene Zeichen enthält?
Ich bräuchte bitte Hilfe bei diesem Besipiel!
4 Antworten
Bei 64 Zeichen(Varianten) und 10 Stellen gibt es 64 hoch 10 Möglichkeiten für ein Passwort(64*64*64*64*64*64*64*64*64*64).
Wären es nur 2 Stellen wären es 64*64 Möglichkeiten, wobei aber doppelte Kombis möglich wären. Es kann das Erstgewählte Zeichen also nicht nochmlas gewählt werden, was bedeutet dass nur 63 Zeichen für die Zweite Stelle zur Verfügung stehn. Also 64*63.
Überträgt man diese Eliminierung von Zeichen auf den Weiteren Verlauf mit 10 Stellen, gibt es bei jeder Stelle eine Möglichkeit weniger also 64*63*62*61*60*59*58*57*56*55. Dies ist die Anzahl der Varianten, welche keine Dopplung aufweisen. Setzt man dies nun ins Verhältniss kömmt man auf die Wahrscheinlichkeit einer Kombination ohne Dopplung.
(64*63*62*61*60*59*58*57*56*55)/(64*64*64*64*64*64*64*64*64*64) = x/100%
--> (64*63*62*61*60*59*58*57*56*55)*100/(64*64*64*64*64*64*64*64*64*64)
=47,67593%
Die Berechnung erfolgte bei mir mit Excel und sollte daher Rundungsfehler-frei sein.
Um derartig lange Rechnungen, wie sie in deiner Antwort vorzufinden sind, zu vermeiden, gibt es in der Mathematik das Fakultätszeichen und Potenzen. ^^
LG Willibergi
Schauen wir uns zunächst an, wieviele Möglichkeiten es gibt, Passwörter mit verschiedenen Zeichen zu wählen
Für das erste Zeichen des Passworts stehen 64 Zeichen zur Verfügung, hast Du das erste Zeichen gewählt kannst Du noch 63 Zeichen für das zweite Zeichen wählen, für das dritte stehen dann nur noch 62 Zeichen zur Verfügung ... , für das letzte und 10. Zeichen sind es noch 45 Zeichen. Damit gibt es für Passwörter mit lauter verschiedenen Zeichen
64 x 63 x 62 x 61 x 60 x ... x 45 Möglichkeiten.
Man nennt diese Zahl auch den Binomialkoeffizienten von 64 über 10.
Dann schauen wir uns an, wieviele Möglichkeiten es insgesamt gibt, Passwörter zu wählen (also auch solche mit mehrfach vorkommenden Zeichen). Das sind:
64^10
Jetzt musst Du diese Zahlen nur noch dividieren, um die gewünschten Wahrscheinlichkeiten zu erhalten.
Für die erste Stelle 64 Möglichkeiten
für die 2.Stelle 64 Möglichkeiten → insgesamt also 64·64
für die 3.Stelle 64 Möglichkeiten → insgesamt also 64·64·64
.......
für die 10.Stelle 64 Möglichkeiten → insgesamt also 64^10
Sorry - ich habe übersehen, dass keines doppelt vorkommen darf - in dem Fall gilt 64!/54! (Erklärung siehe Antworten von willibergi und DrBlaBlaBlub)
Für das erste Zeichen hast du eine Auswahl an 64 Zeichen, für das zweite eine an 63 Zeichen, für das dritte an 62 Zeichen, usw.
Daher entsprechen die günstigen Ergebnisse dem folgenden Term:
64*63*62* ... *54
oder auch
64! 64!
————— = ——
(64 – 10)! 54!
Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich hier aus dem Quotienten aus günstigen und möglichen Ergebnissen.
Möglich sind 64¹⁰ Zeichenkombinationen.
Insofern ist die Wahrscheinlichkeit, ein Passwort aus lauter verschiedenen Zeichenkombinationen zu erhalten, gleich dem folgenden Term:
64!
——
54!
———— ≈ 0,4768 = 47,68%
64¹⁰
Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 47,68% erhältst du also ein Passwort aus lauter verschiedenen Zeichen. ^^
Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.
LG Willibergi