Wahrscheinlichkeit einfache Rechnung?

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6 Antworten

Das ist doch ein Fall für den Satz von Bayes:

Gesucht ist P(Trickmünze | 3xKopf) = P(B|A)

P(B|A) = P(A|B) * P(B) / P(A)

P(A|B) = 1  (bei einer Trickmünze kommt immer Kopf)
P(A|nB) = 0,125  (bei einer normalen ist P = 12,5%)

P(B) = 0,5   (die Wahrscheinlichkeit für eine Trickmünze ist 50%)
P(nB) = 0,5 (für eine normale ebenfalls)

P(A) = P(A|B) * P(B) + P(A|nB) * P(nB) = 1*0,5+0,125 * 0,5 = 0,5625

P(A|B)*P(A)/P(B) = 0,5 / 0,5625 = 88,88 %

Also ein klein wenig mehr als 87,5%

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Kommentar von Grobbeldopp
19.07.2016, 20:34

Moment mal 0,5/0,5625 sind aber nicht 88,88%

Ich komme aber auch auf die 88,88%.

Bei jedem Wurf bleibt ja die Wahrscheinlichkeit gleich, dass es eine Trickmünze war und die Wahrscheinlichkeit dass es eine echte ist halbiert sich.

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Für Rückschlüsse von bekannter Wirkung auf wahrscheinliche Ursache nimmt man die Formel von Bayes.

Dafür brauchst du die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass das Ergebnis mit einer normalen Münze zustandekommt, und dafür, dass das Ergebnis mit einer Münze mit zwei Kopfseiten zustandekommt.

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Kommentar von Grobbeldopp
20.07.2016, 01:43

Ja, ich denke mal ich habs kapiert.

Normale Münze: Wahrscheinlichkeit 1/8

Trickmünze: 1

1/8 geteilt durch 9/8 gleich 1/9

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Hallo,

bei einer normalen Münze ist die Wahrscheinlichkeit für dreimal Kopf gleich 0,5³=1/8

Eine Münze, die auf beiden Seiten Kopf hat, ist dazu das Gegenereignis.

Somit liegt die Wahrscheinlichkeit, daß die Münze nicht normal ist,
bei 1-1/8=7/8.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Grobbeldopp
19.07.2016, 19:52

Ähm, wenn ich mich nicht irre stimmt das nicht. (Oder ich habe mich missverständlich ausgedrückt).

Bei einem Wurf ist die Wahrscheinlichkeit für Kopf 50%. Dennoch ist ja dann schon die Wahrscheinlichkeit kleiner als 50%, dass die Münze Kopf und Zahl hat. 

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Kommentar von PWolff
19.07.2016, 21:22

Könnte man nicht auch folgendermaßen argumentieren:

Wenn ich eine normale Münze 8 N mal dreimal werfe, bekomme ich ca. N mal dreimal Kopf.

Wenn ich eine Münze mit zwei Kopfseiten 8 N mal dreimal werfe, bekomme ich 8 N mal dreimal Kopf.

(N ist hier eine beliebige, sehr große Zahl.)

Wenn ich beide Experimente durchführe, habe ich insgesamt 16 N Ergebnisse.

Davon sind N + 8 N "positive" Ausgänge, hier dreimal Kopf. Das sind 9 N positive Ausgänge. N dieser positiven Ausgänge kommen von der normalen Münze, und 8 N von der speziellen Münze.

Damit wäre die Wahrscheinlichkeit, dass der positive Ausgang von der normalen Münze stammt, (1 N) / (9 N) = 1/9 und die Wahrscheinlichkeit, dass der positive Ausgang von der speziellen Münze stammt, (8 N) / (9 N) = 8/9.

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Die Münze ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent eine normale Münze? Hast ja bereits gesagt, beides gleich wahrscheinlich. Wenn mit einer normalen Münze geworfen wird, dann ist die Wahrscheinlichkeit drei mal Kopf zu werfen 1/8, da (1/2)*(1/2)*(1/2). Ergo 12.5 Prozent. Wenn mit unterschiedlichen Münzen geworfen wird und man nicht weiß mit welcher von beiden, dann ist die Wahrscheinlichkeit pro Wurf 3/4. (3/4)*(3/4)*(3/4) = 27/64, ungefähr 42.2 Prozent. Bin mir nicht sicher ob ich deine Frage richtig verstanden hab, aber hoffe mal die Antwort die du suchst ist dabei.

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Kommentar von Grobbeldopp
19.07.2016, 19:57

Die Münze darf nicht gewechselt werden zwischen den Würfen.

Es wird also vorher 50/50 ausgelost ob die echte Münze oder die Trickmünze für alle Würfe verwendet wird. 

Es geht nicht darum, wie wahrscheinlich das Ergebnis dreimal Kopf ist, sondern wie wahrscheinlich es trotz der drei Würfe ist, dass es eine echte Münze ist. 

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Nochmal eine genauere Beschreibung.

Es gibt zwei Münzen. Eine hat Kopf und Kopf (Trickmünze), die andere Kopf und Zahl (normale Münze).

Aus diesen zwei Münzen wird per Zufall ohne Wissen des Beobachters eine gewählt und drei mal geworfen.

Der Beobachter sieht jetzt nur folgendes: Drei Würfe mit der Münze ergeben dreimal Kopf (entweder durch Zufall oder weil die Trickmünze verwendet wurde). 

Eine wie große Wahrscheinlichkeit sollte der Beobachter der Möglichkeit zumessen, dass eine echte Münze verwendet wurde?

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Kommentar von Grobbeldopp
19.07.2016, 20:27

Sorry, etwas Nachgedacht. Wahrscheinlichkeit ist 1/9. Warum wäre die Frage.

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also wenn laut deinen angaben "beides gleich wahrscheinlich" ist
, dann ist die wahrscheinlichkeit 50% (und dementsprechend die andere auch)

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Kommentar von Grobbeldopp
19.07.2016, 19:54

Nein, die drei Würfe, bei denen jeweils Kopf gefallen ist sind ja entweder Zufall oder sie sind deshalb gefallen weil die Münze von vorneherein nur Kopf hat. Also ist die Wahrscheinlichkeit sicher wesentlich unter 50%.

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