Wahrscheinlichkeit das eine Zahl doppelt gewürfelt wird bei einem Ikosaeder?

Halli Hallo, ich habe Probleme bei meinen Hausaufgaben:

Stellen Sie sich ein kleines Ikosaeder vor, dessen Flächen mit den Zahlen zwischen 1 und 20 beschriftet sind. (b) Wie oft müssen Sie den platonischen Körper mindestens werfen, damit die Wahrscheinlichkeit, dass Sie mindestens eine Zahl doppelt würfeln, mehr als ¨ 50% beträgt? Ab welcher Wurfzahl ist diese Wahrscheinlichkeit größer oder gleich 90%?

Ich dachte man muss nur (1/20)^n nehmen wobei n für die Anzahl der Würfe steht. Jedoch wird dann die Wahrscheinlichkeit geringer je öfter man wirft und das kann ja nicht sein, oder?

Wäre super wenn mit jemand helfen könnte. Vielen Dank im Voraus

Answer 1

[Willy1729]

Hallo,

so etwas löst man am besten über die Gegenwahrscheinlichkeit:

Wir wahrscheinlich ist es, daß bei k Würfen keine von n Zahlen doppelt vorkommt?

Beim ersten Wurf liegt die Wahrscheinlichkeit bei 20/20=1, was logisch ist, denn wenn Du nur einmal geworfen hast, kann schlecht eine Zahl doppelt vorkommen.

Beim zweiten Wurf kommen dann noch 19 Zahlen in Frage, daß es keine doppelte gibt. Die Wahrscheinlichkeit, daß eine von diesen 19 Zahlen kommt, ist 19/20.

Beim dritten Wurf sind es 18 mögliche Zahlen, Wahrscheinlichkeit 18/20.

Wirfst Du dreimal mit einem Ikosaeder, wirst Du also mit einer Wahrscheinlichkeit von
(20/20)*(19/20)*(18/20)=(20*19*18)/20³=20!/(17!*20³)=0,855
keine doppelte Zahl werfen, was im Umkehrschluß bedeutet, daß Du mit einer Wahrscheinlichkeit von 1-0,855=0,145 mindestens eine doppelte Zahl dabei hast.

Allgemein lautet die Formel bei k Würfen mit einem Würfel, der n Zahlen hat:

1-n!/[(n-k)!*n^k] Das ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß mindestens zwei Ereignisse doppelt sind.

Diese Formel ist auch für das sogenannte Geburtstagsproblem gültig, wenn Du wissen möchtest, wie wahrscheinlich es ist, daß es auf einer Party mit k Personen mindestens zwei am gleichen Tag Geburtstag haben. n ist dann 365, die Zahl der möglichen Geburtstage, während k die Zahl der Partygäste ist.

Du mußt also für Dein Problem nur ein k finden, für das die Formel ein Ergebnis von über 0,5 ergibt.

Das ist bei k=6 der Fall.

Bei der anderen Aufgabe suchst Du dann ein k, für das das Ergebnis größer als 0,9 wird.

Herzliche Grüße,

Willy