Der Router stellt die Verbindung her, und über den Router verbinden sich die Computer mit dem Internet. Wasauf den PCs installiert ist oder nicht, das spielt keine Rolle.

Auch wenn dein PC aus ist, kann dein Laptop online.

für die Steuerung des Internetzuganges ist der routerverantwortlich und die einstellungen sind dort gespeichert...musst halt nur Laptop und Router miteinander verbinden (LAN oder WLAN ) und deine Verbindung bleibt erhalten.

Nach der Neuinstallation müsstest du dann problemlos mit dem PC auch wieder ohne große Arbeiten ins Netz kommen

Schau nach, ob bei Deinem Router der DHCP-Server eingeschaltet ist, dieser vergibt an alle Rechner im Netz automatisch eine IP in seinem Netz.

Sollte der DHCP-Server NICHT eingeschaltet sein (und nur dann!), mußt Du nach der Neuinstallation des PCs erst die IP-Adresse wieder einstellen (und zwar ins gleiche Netz des Routers. Bsp: Hat Dein Router 192.168.254.1, sollte Dein Rechner 192.168.254.X haben, wobei X > 1 und < 255 sein muß ;)Die Subnetzmaske stellst Du dann auf 255.255.255.0 und den Gateway auf die IP des Routers. Danach solltest Du Dich wieder auf deinen Router zugreifen können (und somit auch ins Netz kommen)

Ist trotzdem nicht verkehrt nach einer Neuinst. des Systems, den Router ausschalten - 10 sek. warten - einschalten. Die Verbindung wird dann wieder automatisch hergestellt.