Frage von RoraGekkeikan, 54

Von einem Quadrat werden die ecken abgeschnitten (regelmäßiges 8-eck)?

Hey, ich häng schon lange an einer Aufgabe fest und mir fällt einfach nicht ein wie ich das machen könnte...

AUFGABE: Die Ecken eines Quadrates mit der Seitenlänge 8,4 cm werden so abgeschnitten, dass ein Regelmäßiges 8-Eck ensteht. Gesucht: Umpfang, Kantenlänge des 8-ecks, Flächeninhalt

Wenn einer ne Idee hat währe das echt cool wenn ihr mir helfen könntet :)

LG Rora

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, 22

Die schrägen Stücke sind um 45° gegenüber den originalen Seiten gedreht, bzw. sie bilden mit diesen Innenwinkel von 135°.

Nennen wir die Seitenlänge des Quadrats a und das Stück, um das diese Seiten von jedem Ende aus verkürzt werden, b.

Damit haben die neuen Seiten als Teilstücke der alten Seiten die Länge a - 2 b.

Wenn wir die schrägen neuen Seiten einzeichnen, haben wir in jeder Ecke des ursprünglichen Quadrats rechtwinklig-gleichschenklige Dreiecke.

Die Hypotenusen dieser Dreiecke bilden die neuen Seiten; ihre Länge ist b * √2.

Für ein regelmäßiges Achteck müssen diese Seiten gleich lang sein, d. h.

a - 2 b = b * √2

Auflösen nach b überlasse ich dir (Tipp: x / (2 + √2) kann man mit (2 -2 √2) erweitern - dann veschwinden die Wurzeln im Nenner)

Umfang = 8 * Seite

Flächeninhalt = Flächeninhalt des ursprünglichen Quadrats - 4 * Flächeninhalt eines abgeschnittenen Dreiecks

Antwort
von Faradczepi, 28

8,4cm=x+2a

a²+a²=x²

x ist die gesuchte seitenlänge der kante, a ist eine kathete, wenn x die hypothenuse bildet, eines gleichschenkligen, rechtwinkligen dreiecks

also die 2 strecken links und rechts neben der geraden seite

umfang sind 8x, kantenlänge x, und die fläche sind 8,4²cm²-2a²

Kommentar von RoraGekkeikan ,

Aber ich hab doch weder x noch a geben... wie soll ich da den pythagoras anwenden?

Kommentar von Faradczepi ,

du hast 2 gleichungen und 2 unbekannte, das ist eindeutig lösbar

du hast 8,4=x+2a und 2a²=x²

du setzt eins für das andere ein, dann bekommst du richtige zahlen

und dann machst du alles mögliche

du wendest ihn ja nicht mal an, du benutzt ihn nur für die eine gleichung

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