Frage von jumbo125, 89

Volumenberechnung Prisma ungleicher Grundflächen?

Hallo Leute

Ich bin leider ein wenig überfordert mit der Volumenberechnung von diesem Prisma.

Habt Ihr eine Idee wie das gehen könnte. Man sieht in Schwarz die Trapez Grundfläche und dahinter sozusagen den Deckel bzw. die 2 Fläche jedoch anders als die Grundfläche

LG und vielen DANK vorab

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 60

Streng genommen ist dies kein Prisma. sondern ein Zwischending zwischen Prisma und Pyramide.

Schaffst du es, die Figur in Prismen und Pyramiden zu zerlegen?

Einfacher, aber in der Schule nicht unbedingt vorgesehen, ist das Prinzip von Cavalieri - damit kannst du die Volumenberechnung auf die Volumenberechnung eines Pyramidenstumpfes zurückführen.

Kommentar von jumbo125 ,

Ich wusste nicht genau wie dieser Körper heißt, daher schrieb ich mal prisma 😅

Das Probier ich gleich mal. Was ich versucht habe ist, den Quader der im Mittelteil entsteht separat zu rechnen 

Dadurch ergibt sich links und rechts ein Keil mit einer trapezförmigen Grundfläche.

Ich kann jedoch den Keil nicht berechnen.

Zum verzweifeln

Kommentar von PWolff ,

Diese Keile muss man wohl in einzelne Pyramiden zerlegen - das entspricht in etwa der "Triangulation" (Aufteilung in Dreiecke" in der ebenen Geometrie. Bei dreiseitigen Pyramiden ist die Übereinstimmung exakt.

Wenn es nicht für die Schule ist, würde ich das Cavalieri-Prinzip anwenden, damit lässt sich so ein Keil oder gleich die ganze Figur völlig analog einem Pyramidenstumpf berechnen - man braucht nur die Flächeninhalte der Begrenzungsflächen.

Antwort
von Schachpapa, 42

Ich habe das Ding mit deinen Angaben in GeoGebra nachgestrickt.

Der Boden hat die Koordinaten:
A(0|0|0) B(173.23|0|0)
C(173.23|155|0) D(16.25|155|0)

Der Deckel hat die Koordinaten:
E(91.34|0|201.26) F(173.23|0|201.26)
G(173.23|155|201.26) H(118.66|155|201.26)

Die Mittelfläche hat die Koordinaten:
M(45.67|0|106.3) N(173.23|0|106.3)
O(173.23|155|106.3) P(67.46|155|106.3)

Die Flächen:
Boden 25590.89
Deckel 10575.32
Mitte 18083.11

Volumen nach der Prismatoid-Formel:
1/6 h (Deckel+4Mitte+Boden) = 3639406,38 cm^3 =3,64 m^3

Kommentar von jumbo125 ,

Hallo

Vielen Dank für die Hilfe 

Antwort
von Schachpapa, 56

Wenn die Grundflächen ungleich sind, ist es kein Prisma mehr, denn dann sind die Kanten nicht mehr parallel. Nach Pyramidenstumpf sieht es auch nicht aus.

Man kann es auf dem Bild schlecht erkennen, wenn die Vorder- und Rückseite gleich sind, kannst du die als Grundflächen nehmen. Dagegen spricht allerdings, dass die Kanten links unten und oben unterschiedlich lang sind.

Wie ist denn der Körper entstanden? Das scheint mir keine Aufgabe aus einem Mathebuch zu sein.

Willst du das Volumen nur wissen oder exakt berechnen? Sonst könntest du vielleicht tricksen (über Wasserverdrängung, Wiegen etc.)

Kommentar von jumbo125 ,

Ich wusste das es kein Prisma mehr ist, jedoch kenne ich den genauen Ausdruck nicht.

Es kommt aus keinen Mathebuch.

Ich muss ein Gehäuse bauen, das die Form eines Prismas hat. 

Mehr oder weniger ist die grundfläche(Trapez) der Boden.

Wenn ich das 1meter hoch mache und man stößt dagegen, fällt es um.

Deswegen kam die Aufgabenstellung, dass ich die Grundfläche vom Gehäuse, sprich das Trapez größer mache. Ich kann es aber nur an der Vorderkante sprich vom Trapez die Seite a länger machen, dadurch verändert sich jedoch auch die schenkellängen

Fazit.: die Grundfläche ist nicht gleich wie zweite Fläche gegenüber 

Ich benötige das Volumen so genau wie möglich

Vielen Dank für die rasche hilfe

Kommentar von Schachpapa ,

Ich glaube, so ein Ding nennt man Prismatoid (zwei gegenüberliegende, parallele Flächen). Dieses ist sogar ein Prismoid (die gegenüberliegenden parallelen Flächen haben gleiche Eckenzahl).

Dafür gibt es eine Volumenformel:

V = 1/6 h (A1 + 4M + A2)

Dabei sind A1 und A2 die beiden Deckflächen und M die mittlere Fläche, die man erhält, wenn man das Ding in der Mitte durchschneidet.

Wie man M in deinem Fall bestimmt, müsste mit etwas Aufwand herauszufinden sein. Das Abendessen ruft, vielleicht weiß jemand anders weiter ...

Quellen: Englische und deutsche Wikipedia, mathworld.wolfram.com

Antwort
von jumbo125, 24

Hallo Leute

Euch allen vielen Dank für die Hilfen

Ich habe mit sketchup alle Modelle (waren gesamt 8) nachgezeichnet in 3D und mir das Volumen berechnen lassen

Lg

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