Frage von Lunaa2000, 11

Volumen und Oberfläche des Rotationskörpers?

Ein rechtwinkliges Dreieck mit Alpha=90°, c=19cm und a=47cm rotiert um b.Berechnen sie das Volumen und die Oberfläche des Rotationskörpers. Bitte,wenn möglich mit Erklärung und Rechnung damit ich es besser verstehen kann, danke :)

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 2

1. Schritt : zeichne ein x-y-Koordinatensystem

2. Schritt : Zeichne das rechtwinklige Dreieck ein.

3.schritt : Die längste Seite ist die Funktion y=f(x) und ist eine Gerade der Form y=f(x)= m * x

Das ganze ist eine Volumenberechnung eines geraden Kegels und dessen Mantelfläche

siehe Mathe-Formelbuch Kapitel "Anwendung Integralrechnung"

Volumen eines Rotationskörpers um die x-Achse

Formel V= pi *Integral ( y^2 * dx) kannst auch y^2=f(x)^2 verwenden

zu deiner Aufgabe c= 19 cm und a= 47 cm

a>c also hat der Pauker hier die Buchstaben vertauscht,weil ja im Mathe-Formelbuch die längste Seite mit c definiert ist und nicht mit a 

also ist c=19 cm einer der Katheten,die senkrecht auf der x-Achse stehen

Pythagoras hier mit anderen Buchstaben a^2= c^2 + b^2

b=wurzel (a^2 - c^2)= wurzel ( 47^2 - 19^2)= 42,988.. cm

Diese Seite b liegt auf der x-Achse

Integrationsgrenzen somit xu=0 und xo=42,988 .. cm

mit y=f(x)= m * x hier ist m= c/b=19/42,988 ..= 0,442..

Funktion der Matellinie also y=f(x)= 0,442 *x

eingesetzt : V=pi Int( y^2 * dx= pi*Int (0,442 * x)^2 *dx

V=pi*Int( 0,1953 * x^2 * dx= pi * 0,1953 * 1/3 * x^3 + C

V= obere Grenze minus untere Grenze

V= (pi * 0,1953 * 1/3 * 42,988^3)  - ( " *" * 0^3)=16251,1 cm^3

Probe : Volumen eines Kegels V=1/3 *pi *r^2 * h

V= 1/3 *pi * 19^2 * 42,988= 16251,1 cm^3 stimmt bis auf Rundungsfehler

Herleitung der Formel 

Fläche an der Stelle x ist A= r^2 * pi  mit r=y=f(x)

dV= A *dx= V=Integral( y^2 * pi * dx= pi * Int ( y^2 * dx)

y= f(x)=0,442 * x

Die Mantelfläche des Kegels aus den Mathe-Formelbuch

Am=2 *pi *Integral( y * wurzel(1 + y´^2) *dx hier y=f(x)= m *x =0,442*x

abgeleitet y´=f´(x)=0,442 eingesetzt

Am= 2 *pi Int ( 0,442 *x *Wurzel( 1+ 0,442^2) *dx

Wurzel( 1 + 0,442^2)=1,0933

Am= 2* pi * 1,0933 * Int( 0,442 * x *dx=  "  * 0,442 * 1/2 * x^2 +C

Am=1,518.. * x^2 +C

Am = obere Grenze minus untere Grenze

Am= 1,518 .. * 42,988^2 - ( 1,5.. * 0 =28,052 cm^2

prüfe auf Rechenfehler !

Herleitung der Mantelfläche

dA= u *ds mit U= 2*r*pi =2* pi * y oder kannst auch y=f(x) verwenden

ds ist eine sehr kleine Länge der Mantelgeraden  y=f(x)= m*x

dA=2*pi *y *ds

Satz des Pythagoras c^2=a^2 +b^2 eingesetzt ergibt

(ds)^2=(dx)^2 +/dy)^2 dividiert durch (dx)^2

((ds)/(dx))^2= 1 + ((dy)/(dx))^2 mit dy/dx= y`= f`(x)

(" ")^2= 1 + y´^2 wurzel gezogen

(ds)/(dx)= Wurzel (1 + y´^2)

ds= Wurzel( 1 +y´^2) * dx  mit dA=2*pi * y *ds

dA= 2*pi * y * Wurzel( 1 + y´^2) *dx integriert

A= 2 *pi Int ( y * wurzel( 1 + y´^2) *dx

Bei dir ist y=f(x)= 0,442 *x und y´=f´(x) = 0,442..

prüfe auf Rechen- und Tippfehler !

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