Volumen eines Ei's
Hallo ihr lieben, ich möchte gern eine einfache Volumenberechnung für Ei-Förmige Blasen durchführen. Es geht dabei um Löcher in einem Material, von denen mir die Länge, Breite und Höhe bekannt ist. Kann mir dabei jemand helfen?
7 Antworten
Eigentlich über Integral ! Du kannst aber auch aus den großen und kleinen Radius den mittleren Radius bilden , so bekommst du ein relativ genaues Volumen !
das wird etwas komplizierter, da es (zumindest meines Wissens nach) keine allgemeine Formel für Eiervolumen gibt, die in irgendeiner Form vertafelt sind.
Ausrechnen kann man es als Funktion bzw. Integral, indem man das Rotationsvolumen bestimmt, aber da würde ich mich an jemanden wenden, der sowas zur Zeit macht / studiert / beruflich ausübt, dazu braucht man ein paar Mindestangaben.
Ohje.. Wäre es Sinnvoll, das Kugelvolumen zu errechnen, und als durchmesser jeweils einmal Höhe, Breite und Länge zu setzen und anschließend einen Mittelwert zu ziehen? Zwar möchte ich eigentlich schon sehr genau rechnen, allerdings reicht es auch, wenn ich einen stark angenäherten Wert habe.
Genügt Dir als Näherung vielleicht ein Ellipsoid? Dafür gibt es eine Formel.
V = 4 * pi * abc / 3
Ja, das würde ich Dir bei dem Vorhaben auch eher raten. Allerdings brauchst Du hier einen Mittelwert, der auch der realität nahekommt. Einfach durch 3 wäre in vielen Fällen um ein Vielfaches falsch.
Eine Sache könntest Du ja gut ausnutzen: Die Tropfen haben ja meist im Schnitt eine ellipsenähnliche Form. (-> Oberfläche wäre dann A = Pi * Höhe/2 * Breite/2)
Wenn du jetzt die Länge noch mit der Länge multiplizierst, würdest du also eine zylinderartige Form bekommen, in der der Tropfen komplett drin leigt. Der wäre natürlich erstmal um einiges zu groß. im Mittel sollte er allerdings ungefähr der Hälfte des eigentlichen Tropfens entsprechen.
Ein annähernd gutes Ergebnis bekommst du dann wohl durch:
V = (Pi * Höhe * Breite * Länge) : 6
Ich denke, eigentlich wäre das Ding einen Ticken größer durch die Wölbung.
JAAAaaaaa, genau das meinte ich durch die Herleitung meiner Formel. So ein Ellipsoid wäre eine sehr gute Approximation.
War ich ja gar nicht so falsch mit meinerm "Versuch", da a, b und c hier ja nur die Halbachsen sind:
V = 4 * pi * abc / 3
= 1,33 * (Pi * Höhe * Breite * Länge) : 6
Es kommt also noch der Faktor 1,3333 dazu, dann passts..
Vielen Dank, ich werde das jetzt mal so anwenden und in meiner Simulation testen und prüfe mal, wie sich willkürlich eingebrachte Löcher auf das Volumen meiner Laibe und deren Masse auswirken!
V = 4 * pi * abc / 3 = 1,33 * (Pi * Höhe * Breite * Länge) : 6
Ähm, ja, das mit den Halbachsen hatte ich auf die Schnelle in der Tat übersehen, aber ich behaupte, dass das trotzdem falsch ist:
V = 4 * pi * abc / 3
= 4 * pi * Höhe / 2 * Breite / 2 * Länge / 2 / 3
= 4 * pi * Höhe * Breite * Länge / 24
= pi * Höhe * Breite * Länge / 6
Damit stimmt also das, was Du unten hergeleitet hast.
Ja, weil ich mich zweimal verrechnet hatte und dadurch unten glücklicherweise aufs richtige Ergebnis kam :D :D
Du hast in jedem Fall recht: So stimmt die Formel jetzt.
Wenn du das nochmal als Antwort und nicht als Kommentar anhängst, würde ich es als Hilfreichste Auszeichnen - Ach und Danke nochmal!
mit der Montecalo Simulation.... oder so.... das müsste auch für 3D gehen.... http://de.wikipedia.org/wiki/Monte-Carlo-Simulation
Falls es um eine Durchschnittsberechnung gehen soll, könnte es eigentlich ganz einfach gehen:
Berechne (oder schätze) das Volumen K des Käselaibs und das Gesamtvolumen L der darin vorkommenden Löcher. Falls die Löcher ganz zufällig im Käselaib verteilt sind und man dann einen beliebigen ebenen Schnitt durch den Käse legt, so ist in dieser Schnittebene das Verhältnis von Lochfläche zu Gesamtfläche gleich L / K .
Bei einem echten Käse trifft aber die Annahme über die ganz zufällige Verteilung der Löcher im Käsevolumen wohl nicht so exakt zu. Beispielsweise habe ich noch keinen Emmentaler Käse gesehen, der an seiner Oberfläche Löcher oder Dellen hat ...
Für eine "realistische" Berechnung würde man aber ohnehin detailliertere Daten über die Verteilung der Löcher benötigen.
Eine Sache könntest Du ja gut ausnutzen: Die Tropfen haben ja meist im Schnitt eine ellipsenähnliche Form. (-> Oberfläche wäre dann A = Pi * Höhe/2 * Breite/2)
Wenn du jetzt die Länge noch mit der Länge multiplizierst, würdest du also eine zylinderartige Form bekommen, in der der Tropfen komplett drin leigt. Der wäre natürlich erstmal um einiges zu groß. im Mittel sollte er allerdings ungefähr der Hälfte des eigentlichen Tropfens entsprechen.
Ein annähernd gutes Ergebnis bekommst du dann wohl durch:
V = (Pi * Höhe * Breite * Länge) : 8 * Krümmungsfaktor
Den hat john4711 ja mit der Formel für den Ellipsoid gebracht: Er ist 4/3!
Also ist eine sehr gute Approximation:
V = (Pi * Höhe * Breite * Länge) : 6
Beste Grüße, Balu
Jetzt habe ich allerdings noch eine Frage: Ich habe unten dein Simulationsvorhaben durchgelesen und festgestellt: Du willst ja keine kompletten, eiförmigen Löcher im Käselaib errechnen, sondern nur die ovalen Löcher in den Scheiben, oder? Da nützt dir die komplette Volumenformel für Ellipsoide natürlich nicht so viel - ich hoffe, das ist dir bewusst.
Einzige sinvolle Antwort, die ich hier bisher gelesen habe. So ein Volumen berechnet man mathematisch über ein Dreifachintegral mit Polarkoordinaten. Dazu müsste man eine Funktion für die Oberseite des Querschnitts so eines Eis approximieren. Geht in konkreten Beispielen nicht mal all zu schwierig, aber eine "einfache", allgemeine und dynamische Formel wirst du so nicht bekommen.
Erst recht nicht, wenn Du "nur" Länge, Höhe und Breite hast, denn zur Approximierung würde man noch die Krümmung oder zumindest ein paar Zwischenpuntke brauchen.
Beste Grüße, Balu