Frage von fragexaxaxa, 83

Vollständigkeitsaxiom?

Hallo, ich soll mit dem Vollständigkeitsaxiom beweisen, dass die Gleichung y^n = x genau eine positive Lösung y besitzt. y und x sind aus ℝ und n aus ℕ..

Das Axiom haben wir so definiert: Jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge M ⊆ ℝ besitzt ein Supremum.

Wäre dankbar über einen Ansatz.

Antwort
von iokii, 30

Betrachte mal die Menge aller y mit y^n<=x.

Antwort
von DinoMath, 51

Ich denke wir braeuchten mehr Informationen was ihr laut Vorlesung zurzeit wisst und was nicht, dementsprechend aus was ihr dies ableiten sollt.

Irgendwelche vorangegangenen Saetze oder Aufgaben, die sich als nuetzlich erweisen koennten?

Kommentar von fragexaxaxa ,

Nichts weltbewegendes. Nur die Definition der Beschränktheit, einer oberen, bzw. unteren Schranke und die Def. vom Supremum und Infimum.

Die Sätze die in dem Kapitel vorkamen sind nicht wirklich interessant für die Aufgabe. z.b. lautet einer : Es gibt keine Zahl x aus Q mit x² = 2 .

Davor waren vollständige Induktion und Körperaxiome / Anordnungsaxiome das Thema.

Kommentar von DinoMath ,

den einen finde ich durchaus interessant. Liefert er doch einen Ansatz wie man versuchen koennte den oben genannten Satz zu widerlegen und durch das zwangslaeufige Scheitern dann ihn zu beweisen.

Irgendwie ist es unueblich, dass man fuer ein x ein y sucht, welches eine Loesung des Problems abhaenig von x darstellt. Normalerweise ist das umgekehrt f(x): fuer ein y wird ein x gesucht, welches die Gleichung f(x)=y erfuellt. Bist du sicher, dass du das genau so meinst?

fuer x = -1 und n = 2 ist der Satz falsch. ist vielleicht |R>0 gemeint? Fuer 0 ist die Loesung ja ebenfalls nicht positiv...

Fuer n=1 ist die Sache einfach. In allen anderen Faellen ist y+1 mindestens eine Zahl, sodass fuer x = y+1 eingesetzt x^n groessergleich y gilt. Alle Zahlen x > 0 fuer die ebenfalls x^n >= y gilt, sind daher nach unten beschraenkt und besitzen von daher ein Infimum. Wenn ihr nun noch eine Idee habt wie man beweisen kann, dass dieses Infimum dann die Loesung deiner Gleichung ist, waerst du fertig.

Was ich mir vorstellen kann ist, dass du im obigen Ansatz dich bloss auf RATIONALE x beschraenkst, weil du mehr schon ueber sie weisst und dafuer mehr Saetze benutzen kannst. Das Infimum dieser rationalen Zahlen kann dann zwar irrational sein, aber das ist ja fuer dich okay.

Habe dir nun nicht die Arbeit abgenommen, aber evtl ist das die Idee, die ihr braucht.

Viel Erfolg und gib Bescheid, obs geholfen hat.

Dino

Kommentar von polygamma ,

x >= 0 wird sie vergessen haben. Aber x darf gerade nicht auf Rationalität beschränkt werden, da der Satz sonst nicht mehr gültig ist. Z.B. x^2 = 2 hat für x € Q keine Lösung.

Kommentar von DinoMath ,

ich will auch nicht den Satz auf |Q beschraenken, sondern bloss die Menge aller x>0, fuer die gilt, dass x^n >= y ist.

Diese Menge hat dann ein Infimum, welches in |R liegt und mithilfe dieser Menge kann man dann VIELLEICHT leicht beweisen, dass dieses Infimum hoch n den obigen Satz erfuellt, danach fehlt nurnoch, dass es die Einzige Loesung ist und genau das haette ich dem Studenten dann doch noch als Uebeungsaufgabe ueberlassen.

Kommentar von polygamma ,

Das funktioniert so leider nicht, da die Menge, die du so definierst, nicht nach unten beschränkt sein muss... Bedenke, dass für gerade n € N gilt: x^n >= 0. Die Menge, die man betrachten muss, ist: M = {x € R | x^n <= y} für y >= 0. Diese Menge ist nämlich nichtleer, da 0 € M gilt und z.B. durch y + 1 nach oben beschränkt. Damit folgt nach dem Vollständigkeitsaxiom, dass das Supremum existiert. Dieses Supremum ist tatsächlich auch gerade die Lösung der Gleichung und das gilt es zu beweisen.

Kommentar von DinoMath ,

die Menge die ICH definiert habe beinhaltete, dass jedes Element groesser als 0 ist, also ist es sehr wohl nach unten beschraenkt und hat ein Infimum, welches sogar dem Supremum deiner Menge entspricht.

Der Fragensteller soll ja die Aufgabe immernoch selber loesen, also sollte ja nur eine Idee sein mit der er arbeiten kann.

Und n ist nicht unbedingt gerade und dass man genau die Menge betrachten muss ist auch falsch. Es gibt mehrere Loesungswege, die zum Ziel fuehren und sowohl meiner als auch deiner laesst sich zu einem korrekten Beweis ausarbeiten, also bitte rede nicht schlecht ueber meine Antwort, nur weil deine anders ausfaellt.

Kommentar von polygamma ,

Du hast wohl das "nevermind" überlesen.

Kommentar von DinoMath ,

nein, habe ich nicht.

Kommentar von polygamma ,

Dann macht "also bitte rede nicht schlecht ueber meine Antwort, nur weil deine anders ausfaellt" aber keinen Sinn.

Kommentar von DinoMath ,

"Das funktioniert so nicht, aber naja schon okay" finde ich wird meiner Antwort halt nicht gerecht, weil sie sehr wohl funktionieren kann, entweder genau so, oder indem sie einfach eine Idee liefert wie man die Aufgabe loesen kann. Daran aendert auch ein Nevermind nichts, dass ich nicht den Eindruck habe, dass du meine Arbeit entsprechend wuerdigst. Obwohl sie doch gut gemacht war.

Kommentar von polygamma ,

Nevermind...

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