Frage von PMBDE, 38

Vollständige Induktion Summe der Quadratzahlen?

Hallo,

1^2+2^2+3^2+...+n^2 =(1/6)n(n+1)(2n+1).Dies soll ich jetzt mit der vollständigen Induktion beweisen.Im ersten Schritt muss ich das für 1 beweisen.Dieser schritt ist klar.Aber wie funktioniert jetzt das mi a(k+1)?

Danke im Voraus;)

Antwort
von Physikus137, 17

a(k) = 1^2+2^2+3^2+...+k^2 = (1/6)k(k+1)(2k+1) n.V.

a(k+1) = 1^2+2^2+3^2+...+k^2 + (k+1)^2 = (1/6)k(k+1)(2k+1) + (k+1)^2

= (1/6)k(k+1)(2k+1) + k^2 + 2k + 1

= 1/6 [ 2k^3 + 3k^2 + k ] + k^2 + 2k + 1

= 1/6 [ 2k^3 + 9k^2 + 13k + 6]

= 1/6 [ 2(k+1)^3 + 3k^2 + 7k +4]

= 1/6 [ 2(k+1)^3 + 3(k+1)^2 + k + 1]

= 1/6 [ 2(k+1)^3 + 3(k+1)^2 + (k+1)], Vergleich mit dem festgedrückten Term oben

= 1/6 (k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1) q.e.d

Antwort
von Physikus137, 13

a(k) = 1^2+2^2+3^2+...+k^2 = (1/6)k(k+1)(2k+1) n.V.

a(k+1) = 1^2+2^2+3^2+...+k^2 + (k+1)^2 = (1/6)k(k+1)(2k+1) + (k+1)^2

= (1/6)k(k+1)(2k+1) + k^2 + 2k + 1

= 1/6 [ 2k^3 + 3k^2 + k ] + k^2 + 2k + 1

= 1/6 [ 2k^3 + 9k^2 + 13k + 6]

= 1/6 [ 2(k+1)^3 + 3k^2 + 7k +4]

= 1/6 [ 2(k+1)^3 + 3(k+1)^2 + k + 1]

= 1/6 [ 2(k+1)^3 + 3(k+1)^2 + (k+1)], Vergleich mit dem fett gedruckten Term oben

= 1/6 (k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1) q.e.d

Kommentar von Physikus137 ,

😳 Ups, da wurde die Verbesserung der ersten eine zweite Antwort.

Antwort
von lks72, 25

Am besten nimmst du die Formel für n+1, subtrahierst davon die Formel für n, und das Ergebnis muss die n+1 te Quadratzahl ergeben, also (n+1)^2. Bitte daran denken: Jedes n muss oben durch n+1 ersetzt werden, Klammern nicht vergessen.

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