Vollständige Induktion für alle n Elemente der natürlichen Zahlen gilt: Habe alles versucht aber mir gelingt der Beweis einfach nicht.?

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2 Antworten

Kannst du den Ausgangsterm vielleicht vernünftig als Summe aufschreiben? Soll der Nenner "2x3" jetzt 2x³ heißen?

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Kommentar von BatuG232
21.11.2016, 01:06

Sorry, soll heißen: 2 mal 3

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Besser schreibst Du

(2/(1·2)) + (2/(2·3)) + (2/(3·4)) + ... + (2/(n·(n+1))) = 2n/(n+1),

um zu vermeiden, dass Dir jemand 2x3 als 2·x³ auslegt. Nun, für n=1 ist das schon klar, denn

2/(1·2)) = 2·1/(1·(1+1)).

Das ist die Induktionsvoraussetzung. Im Induktionsschritt gehst Du für n-1 davon aus, dass die Formel stimmt, also

(2/(1·2)) + (2/(2·3)) + (2/(3·4)) + ... + (2/((n–1)·n)) = 2(n–1)/n

ist. Dazu musst Du

2/(n·(n+1))

addieren, in der Hoffnung, dabei

2(n)/(n+1)

zu erhalten:

2(n–1)/n + 2/(n·(n+1)) = {2(n–1)(n+1) + 2}/{n·(n+1)}
                                   = {2(n²–1) + 2}/{n·(n+1)}
                                   = {2n²–2 + 2}/{n·(n+1)}
                                   = 2n²/{n·(n+1)}
                                   = 2n/(n+1),

Voilà!

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Kommentar von SlowPhil
21.11.2016, 00:27

Nun habe ich die Induktion mit (2n)/(n+1) + 2/ ((n+1)(n+2) weitergeführt Ich komme einfach nicht auf den Term (2n + 2)/(n+2)

Der ist ja auch falsch. Es heißt nicht

(2n + 2)/(n+2)

und auch nicht

(2n + 1)/(n+2),

sondern

(2(n+1))/(n+2).

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Kommentar von SlowPhil
21.11.2016, 02:15

Nein, ich gehe ja nicht von n nach n-1, sondern umgekehrt. Ich gehe zum Beispiel von 20 nach 21, und dabei kann ich 20 als n und 21 als n+1 oder 20 als n-1 und 21 als n bezeichne, ist unerheblich.

Außerdem ist (2(n+1))/(n+2) ausgeschrieben = (2n+2)/(n+2)

Stimmt auffallend. Wieso ist mir das bloß entgangen? Ich muss abgelenkt gewesen sein.

Dann müsste es ja eigentlich doch klappen, wenn man in meiner Rechnung n–1 durch n und n durch n+1 ersetzt.

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