Vollständige Induktion bei Ungleichung?

... komplette Frage anzeigen

3 Antworten

Ich habe mal ein bisschen rumprobiert und bin zu keinem vollständigen Beweis durch Induktion gekommen, ich glaube immer noch nicht, dass es hier einen schönen gibt. Vielleicht übersehe ich einige schöne Umformungen, aber ich habe die berühmten Kandidaten für solche Ungleichungen benutzt und kam zu keinem Ergebnis.

Ein numerischer Ansatz wäre die Konvergenzgeschwindigkeit.

Du wählst a_n := ( 1 + 1/n)^n und b_n := Summe(k=0 bis n) 1/n!, beide Folgen sind offensichtlich konvergent.

Es gilt a_n <= b_n, wenn a_k <= b_k für Startwert k (wissen wir durch Nachrechnen), die Grenzwerte gleich sind (beides e wissen wir auch), also a = b und wenn b_n für n > k schneller konvergiert als a_n.

Wenn wir uns das ganze jetzt angucken, dann sehen wir, dass |(a_(n+1) - a)/(a_n - a)| für n groß genug über 1/2 ist und gegen 1 geht, wohingegen |(b_(n+1) - b)/(b_n - b)| eine Nullfolge ist, die für n groß genug kleiner als 1/2 ist. Damit ist a_n linear konvergent mit Konstante größer als 1/2 (in Wirklichkeit sogar genau 1), b_n ist superlinear konvergent. Die einzigen Werte, die du noch überprüfen musst, sind die bis zu diesem "groß genügenden" n, das ist bei mir aber genau 1, du musst also garnichts großes mehr rechnen. Du siehst, dass dieser Beweis sehr nah an der Induktion dran ist, aber eben vielleicht nicht ganz ist, was dein Prof/Lehrer/wer auch immer gefordert hat.

Vielleicht sieht ja irgendwer den richtigen Trick, um es nach Standardmethode zu zeigen..

LG

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von Teilzeizgott
14.11.2015, 21:15

Wow, darauf wäre ich nicht gekommen. Die Aufgabenstellung war auch nur beweisen sie folgende aussage. Und das es für alle n aus N gilt.

ich wollte dir Induktion nutzen, da wir nur die und den beweis durch Widerspruch kennen. 

Du hast b_n festgelegt als Summe aus 1/n! . In der Aufgabe stand aber k!. Darf/kann man das so einfach ersetzen ? 

Ansonsten danke ich jetzt schon für die Top Antwort (y)

0

Sei n = 2, dann ist die Linke Seite der Ungleichung (3/2)^2 = 2.25, während die rechte Seite der Ungleichung 5/2 = 2.5 ergibt. Also ist die Ungleichung falsch.

Ist das wirklich deine Aufgabe, dann sollst du sie hier widerlegen. Meinst du vielleicht die andere Richtung, dann ist das eine ganz andere Sache.

LG

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Es heißt natürlich kleiner als.

Sonst ergibts kein Sinn....

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Was möchtest Du wissen?