Frage von answerme3000, 50

Vollständige Induktion anhand von (n¦k)=n!/k!(n-k)! ?

Also ich muss in der Schule eine Facharbeit schreiben und hab leider Mathe erwischt. Mein Thema lautet " Die Beweismethode vollständige Induktion am Beispiel von (n¦k)=n!/k!(n-k)!" (Ich schätze das kann jetzt keine lesen soll heißen: (n über k)=n! durch (k!(n-k)!) Die Formel beschreibt in der Kmbinatorik die ungeordnete Stichprobe ohne Wiederholung.

Jedenfalls habe ich gerade Schwierigkeiten mit dem Beweis Mit Induktionsanfang und Induktionsannahme hatte ich kein Problem, doch bei dem Induktionsschluss komme ich nicht weiter. Ich finde leider weder im Internet noch in Büchern Hilfe.

Bisher habe ich nur n_(0 ) durch n_0+1 ersetzt:

n!/k!(n-k)!=(n+1)!/k!((n+1)-k)!= ?

Kann mir hierbei jemand helfen?

Antwort
von eterneladam, 22

Ich schreibe den Binomialkoeffizienten "n über k" als (n|k)

Wir werden benutzen, dass (n+1|k) = (n|k) + (n|k-1). Interpretation: k Elemente aus n+1 Elementen auswählen ist wie entweder k aus den ersten n auszuwählen oder das (n+1)-te Element und k-1 aus den ersten n auszuwählen.

Induktionsbeginn mit n=1: selber machen..

Induktionsannahme: Wir haben es für n und alle k=0,1,....,n bewiesen.

Induktionsschritt:

(n+1|k) =

(n|k) + (n|k-1) =

(nach Voraussetzung) n! / k! / (n-k)! + n! / (k-1)! / (n-k+1)! =

(n+1)! / k! / (n-k+1)! [ (n-k+1)/(n+1) + k/(n+1) ] =

(n+1)! / k! / (n-k+1)!

Was zu beweisen war.

Antwort
von varlog, 20

Mal 'n blöde Frag: Bist du dir sicher, dass die Aufgabe so lautet? Der Binomialkoeffizient ist ja nämlich eigentlich so definiert, wie es da steht. Von daher gibt es da nicht viel zu beweisen.

Man kann höchstens über die Rechenregeln, die für den Binomialkoeffizienten gelten, den Induktionsschluss probieren. Die Rechenregeln basieren allerdings auf der Aussage, die man beweisen will, von daher wäre das auch ein bisschen witzlos.

Unabhängig davon ist im Allgemeinen

n!/k!(n-k)! ungleich (n+1)!/k!((n+1)-k)!

Antwort
von kepfIe, 29

Was willst du denn beweisen? Das (n über k) so definiert ist kann man nicht beweisen, das is einfach die Notation dazu.

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