Vollständige Induktion an Beispiel erklären?

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5 Antworten

Zuerst mal: Was genau ist Induktion?

Man möchte eine Gleichung für natürliche Zahlen beweisen. Es gibt allen Grund zur Annahme, dass wenn die Gleichung (a+b)² = a² + 2ab + b² für a=3 und b=4 gilt, dass sie dann auch für a=14 und b=39 gilt. 

Sowas möchte man mit Induktion zeigen. Natürliche Zahlen sind denkbar einfach gestrickt. Alles was du tun musst, um die nächste zu bekommen, ist diene vorherige mit 1 zu addieren. Und genau das Prinzip macht man sich bei der Induktion zunutze.

"Wenn ich eine Gleichung für eine bestimmte Zahl zeigen kann (z.B. 42), dann kann ich, wenn ich annehme, dass die Gleichung für 42+1 gilt, sagen, dass sie ja für alle natürlichen Zahlen gelten muss"

Die drei Teile einer Induktion kennst du bereits: Induktionasanfang (Der Beweis der Gleichung für einen bestimmten Wert),

die Annahme (Man nimmt an, dass die Gleichung, wenn sie für den bestimmten Wert gilt, dann wahrscheinlich auch für jeden anderen Wert (n) gilt)

und der Schritt: Wenn ich unter der Annahme zeigen kann, dass auch der Nachfolger des angenommenen (unbekannten) Wertes (n+1) die Gleichung erfüllt, dann gilt diese Gleichung unter der Annahme tatsächlich für alle natürlichen Zahlen.

Der Schritt ist meistens der schwerste Teil, da du hier die Annahme einsetzen musst und dann durch Umformen auf beiden Seiten der Gleichung letztendlich das gleiche stehe haben willst.

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Ich hab mal deine Aufgabe gerechnet. Ich hab es relativ formfrei gehalten, aber das Vorgehen sollte dadurch klar sein.

Wenn du Fragen hast, kannst du dich gern melden.

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Im Induktionsanfang wird die Gleichung für das erste n des Definitionsbereichs geprüft (im Normalfall n=0 oder n=1)

Im Induktionsschritt wird die Gleichung formal noch mal für alle n aufgeschrieben (Induktionsannahme,kann 1:1 so übernommen werden wie die Ausgangsgleichung)..

danach musst du zeigen, ob die Gleichung auch für n+1 gilt. Das ist das Schwierigste.. du musst die Gleichung dann so umformen, dass eine wahre Aussage entsteht und dabei die Induktionsannahme als Anhaltspunkt ansehen

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Das Video fand ich immer ziemlich gut. Das geht 20 min und er erklärt es sehr ausführlich. Damit solltest du deine Induktion hinbekommen

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Siehe meine Antwort zu: https://www.gutefrage.net/frage/wieso-ist-die-vollstaendige-induktion-ein-beweis-wenn-man-fuer-den-beweis-davon-ausgehen-muss-dass-die-bedingung-fuer-alle-n-gilt-induktionsannahme?foundIn=list-answers-by-user#answer-225250361

Da habe ich den Induktionsbeweis mit einem Beispiel ausführlich und (hoffentlich^^) verständlich erklärt.

Um die Induktion anwenden zu können, musst Du erst einmal das Prinzip verstehen. Denn vollständige Induktion überträgt man auf Anwendungsgebiete.

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