Frage von RhoMalV, 32

Vollständige Induktion: n³ - 6n² + 14n ist durch 3 teilbar (Woher kommt der zusätzliche Term im vierten Schritt)?

Hallo. Ich habe einmal folgende Übungsaufgabe:

n³ - 6n² + 14n ist durch 3 teilbar

IA: n = 1

1³ - 6(1)² + 14(1) = (111) - 6(1*1) + 14 = 1 - 6 + 14 = 9 ist durch 3 teilbar

IS: n = n + 1

(n+1)³ - 6(n+1)² + 14(n+1)

= (n+1)(n+1)(n+1) - 6 ((n+1)(n+1)) + 14(n+1)

= n³ + 3n² + 3n + 1 - 6n² - 12n - 6 + 14n + 14

= n³ - 3n² + 5n + 9

Bis hierhin war ich gekommen.

In der Lösung geht es aber nun folgender Maßen weiter:

= n³ - 6n² + 14n + 3n² - 9n - 9

...hier verstehe ich nicht ganz, wie ich nun auf diesen Term komme und warum ich die Induktion nun SO fortführen soll / muss ...

Daraus folgt dann:

= (n³ - 6n + 14n) + 3(n² - 3n + 3)

Wer kann mir da weiterhelfen, was ab dem 4.Schritt dort genau passiert?

Danke schon mal.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Rhenane, Community-Experte für Mathematik, 19

Nachdem Du die Klammern (n+1) aufgelöst hast, musst Du nicht komplett zusammenfassen, sondern so, dass Du zum einen den Ursprungsterm (der ja für n=1 durch 3 teilbar ist) und zum anderen einen "Restterm" erhälst, den Du dann so umformen kannst/musst, dass auch dieser offensichtlich immer durch 3 teilbar ist.

Antwort
von claushilbig, 5

 

Zum einen ist natürlich Rhenanes Antwort komplett richtig und sinnvoll. Di bist quasi bei deiner dritten Umformung etwas "übers Ziel hinaus geschossen", Du hast "zu viel" zusammen gefasst.

Aber auch, wenn das nicht der Fall wäre, könntest Du von deinem dritten Schritt auf die fragliche Zeile kommen, und zwar durch einen "Trick", den man bei Beweisen u. ä. (z. B. auch bei der "quadratischen Ergänzung")  relativ oft anwenden kann oder muss.

Diesen Trick nennt man manchmal "eine produktive Null addieren" - er besteht darin irgendetwas zu addieren und direkt wieder abzuziehen (oder umgekehrt), so dass sich zwar am Wert der Gleichungsseite nichts ändert, aber man evtl. auf eine Struktur kommt, die man besser weiter bearbeiten kann (z. B. bei der Quadratischen Ergänzung versucht man so, auf eine binomische Formel zu kommen).

In Deiner Rechnung würde das so gehen:

= n³ - 3n² + 5n + 9

= n³ - 3n² + (3n² - 3n²) + 5n + (9n - 9n) + 9

(Die beiden Klammern geben jeweils 0, d. h. am Wert hat sich nichts geändert, aber nun können wir "geschickt umformen":)

= n³ - 3n² + 3n² - 3n² + 5n + 9n - 9n + 9

= n³ - 3n² - 3n² + 3n² + 5n + 9n - 9n + 9

= n³ - (3n² + 3n²) + 3n² + (5n + 9n) - 9n + 9

= n³ - 6n² + 3n² + 14n -9n - 9

= n³ - 6n² + 14n + 3n² - 9n - 9

(Damit sind wir bei der Zeile, die Dir unklar war. Jetzt noch "willkürlich" Klammern setzen ...)

= (n³ - 6n² + 14n) + (3n² - 9n - 9)

(... und aus der zweiten Klammer eine 3 ausklammern ("herausheben"):)

= (n³ - 6n + 14n) + 3(n² - 3n + 3)

Daraus folgt dann:

= (n³ - 6n + 14n) + 3(n² - 3n + 3)

Wer kann mir da weiterhelfen, was ab dem 4.Schritt dort genau passiert?

Die erste Klammer ist die Formel, die untersucht wird und die nach Induktionsvoraussetzung durch 3 teilbar ist.

Der zweite Teil ist auf jeden Fall durch 3 teilbar, egal was in der Klammer steht, weil "3*irgendwas" (per Definition der Division) immer durch 3 teilbar ist.

Die Summe zweier durch 3 teilbaren Zahlen ist aber immer selber durch 3 teilbar, denn 3a + 3b = 3(a+b).

Kommentar von RhoMalV ,

Super! Danke! Top Antwort! :)

Jetzt ist es mir erst richtig klar geworden. ;)

Kommentar von claushilbig ,

Den Trick mit der "produktiven Null" sollte man sich merken, das braucht man öfter :-)

 

Antwort
von kreisfoermig, 5

Der Hinweis von [Ellejolka] dürfte dir helfen: das ist quasi der richtige Umgang mit dem Term in dem Induktionsschritt. Hier des Interesses halber ein kürzerer direkter Beweis, ohne Induktion:

Behauptung. 3 | n³ – 6n² + 14n für alle n∈ℕ.

Beweis. Sei n ∈ ℕ. Man berechne modulo 3

n³ – 6n² + 14n ≣ n³ + 0n² + -n  da 14=15–1 ≣ -1 mod 3
= n(n²–1)
= n·(n–1)·(n+1)
= (n–1)·n·(n+1)

Eine der Zahlen n–1; n; n+1 muss durch 3 teilbar sein, sodass 3 | (n–1)·n·(n+1). Daher n³ – 6n² + 14n ≣ (n–1)·n·(n+1) ≣ 0 mod 3.
Das heißt, 3 | n³ – 6n² + 14n.                                                                QED.

Antwort
von Othiz, 17

Naja das Ergebnis: Da die erste Klammer laut Induktionsvoraussetzung durch 3 teilbar ist UND eine Klammer, die mit 3 multipliziert wird, durch 3 teilbar ist, ist der Beweis abgeschlossen. Dein Term, den du als Ergebnis hattest, wird im folgenden Schritt so umgeformt, dass der erste Teil der Annahme entspricht. Der zweite Teil ist nun immer durch drei teilbar, also bewiesen.

Antwort
von iokii, 15

Wenn du den Term zusammenfasst kommst du auf den davor.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 8

du hast n³-3n²+5n+9

du möchtest aber vorne die Behauptung " n³-6n²+14n" haben;

das sind aber -3n²+9n "zuviel" und daher musst du  die wieder hinten ausgleichen

mit "+3n²-9n"

dann hast du also

n³-6n²+14n  +3n²-9n  +9

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