Frage von lillian92, 49

Vollständige Induktion – Hilfe?

Ich verzweifle hier gerade an der Fragestellung. Und zwar soll ich beweisen, dass ((9^n) - 1) mod 8 = 0 ergibt (wobei n ein Element der natürlichen Zahlen ist). Induktionsvoraussetzung und Induktionsbehauptung sind klar. Nur ich komme nicht auf den Induktionsschritt oder wie ich den angehen soll. Ich bin durch Umformung zwar auf (9^n) mod 8 - 1 gekommen (was ja rein von der Logik her stimmt), aber ich weiß nicht wie weiter, oder ob mir das Überhaupt was bringt.

Über Gedankenanstöße oder auch eine Lösung wäre ich dankbar (lerne auf ne Prüfung und das Beispiel bringt mich gerade zur Verzweiflung).

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 19

9^n -1 mod 8 = 0

also 8 • m = 9^n - 1 also 9^n = 8m+1

------------------------------------

9^(n+1)-1 = (9^n • 9) -1

Induktionsschluss

=( (8m+1) • 9) - 1 = 72m + 9 - 1 = 72m + 8

= 8(9m + 1)

also 9m+1 = 9^(n+1)-1 durch 8 ohne Rest teilbar

??

Antwort
von Eric9835, 18

Du mussr ja nur zeigen, dass 9^(n+1)-1 durch 8 teilbar ist.

Den auadruck kann man auch als 9*9^n -1 schreiben und das ist

9*(9^n -1) +8

Der erste teil ist ein vielfaches von 9^n -1 und damit nach induktionsannahme durch 8 teilbar und der zweite teil ist natürlich auch durch 8 teilbar, womit der gesamtauadruck durch 8 teilbar ist und wir sind fertig ;)

Antwort
von Mikkey, 35

Du musst 9^n * 9 - 1 auf die Teilbarkeit durch 8 untersuchen und dabei voraussetzen, dass 9^n - 1 durch 8 teilbar ist.

Kommentar von lillian92 ,

Das sind Induktionsvoraussetzung und Induktionsbehauptung, soweit war ich schon^^°

Kommentar von Mikkey ,

9^n = i*8+1

(i*8+1)*9 = ?

Antwort
von Polynomo, 12

Am einfachsten machst Du Dir den Sachverhalt mal der Reihe nach klar :

9^1 = 9  = 8 + 1                     -->  mit 9 multipliziert : 9 * (8+1) = 72 + 9

9^2 = 81 = 10 * 8 + 1            --> mit 9 multipliziert : 9 * (80+1) = 720 + 9

9^3 = 729 = 91 * 8 + 1         --> mit 9 multipliziert : 9 * (728+1) = 6552 + 9

9^4 = 6561 = 820 * 8 + 1    -->   .......  = 9 * ( Vielfaches von 8 ) + 9

Und das , was Du hier gesehen hast, schreibst Du in der verlangten Notation, dass man vollständige Induktion erkennt.

Dabei kannst Du Dich an die Antwort von Ellejolka halten .

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