Vierecke, Fünfecke, Sechsecke auf Kugeloberfläche
Beim Gucken dieses Numberphile-Videos bin ich auf einige Fragen gestoßen, die mit den spärlichen Infos aus dem Video auch nicht beantwortet werden können: https://www.youtube.com/watch?v=Nyo3TjKyu_c
- Allgemeine Verständnisfrage: Habe ich das richtig verstanden, dass die Größe der Squäre bzw. Kugel irrelevant ist, aber sich im Umkehrschluss die Größe der Pentagons und Hexagons daraus ergeben?
- Rechnet man das Ganze nur für Sechsecke oder nur für Quadrate aus, stößt man bei der Eulercharakteristik immer auf: #v - #e + #f = 0 = 2. Läuft da irgendwas in der Formel schief oder bedeutet das tatsächlich, dass es keine Anordnung von Sechsecken bzw. Quadraten gibt, die auf eine Sphäre passt?
3 Antworten
- Die Größe der Kugel ist für diese Betrachtung unwichtig, wenn sie durch 5- und 6-Ecke regelmäßig werden soll, ergeben sich immer 12 5-Ecke und 20 6-Ecke. Bei einer großen Kugel sind die natürlich größer als bei einer kleinen.
- Für Vierecke kommen ich auf #v - #e + #f = 8 - 12 + 6 = 2 - allerdings sind das dann keine "euklidischen" Quadrate mehr, die Ecken haben jeweils 120°. Auf dem Fußball finden sich aber auch keine "euklidischen" 5- und 6-Ecke, sie müssen gekrümmt sein und haben damit ebenfalls größere Eck-Winkel als die "normalen" 108° bzw. 120° - in jeder Ecke treffen ja 2 6-Ecke und ein 5-Eck aufeinander, deren Winkel zusammen 360° ergeben müssen. Für "euklidische" Quadrate und Sechsecke gibt es tatsächlich keine Anordnung, die auf eine Kugel passt. Euklidische (also "ebene") Vielecke können überhaupt nicht auf einer Sphäre angeordnet werden, es muss immer Verzerrungen in Längen und/oder Winkeln geben. (Du kannst keine Kugel ohne Falten oder Risse in ein Blatt Papier einwickeln. Das ist eines der großen Probleme der Kartographie, es gibt keine Karte, die zugleich winkel-, längen- und flächentreu ist.)
Alle Anordnungen von nur einer regelmäßigen Form müssen Projektionen von einem der 5 Platonischen Körper sein, d. h. es können nur 4 3-Ecke, 6 4-Ecke, 8 3-Ecke, 12 5-Ecke oder 20 3-Ecke untergebracht werden. Alle regelmäßigen Anordnungen verschiedener Flächen entstehen aus Abwandlungen der Platonischen Körper, der Fußball entsteht z.B., indem man von einem 20-Flächner alle "Spitzen" abschneidet.
was meinst du mit größe?
die anzahlen der sechsecke und fünfecke ergibt sich, jedoch nicht ihre größe. forderst du allerdings, dass es eine "regelmäßige/gleichmäßige" anordnung sein soll ergibt sich natürlich die größe der vielecke im verhältnis zur größe der kugel.
es kommt also eigentlich nur auf die form an, nicht auf die größe.
wenn 0=2 rauskommt, so gibt es eine solche anordnung nicht. dabei hast du natürlich vorausgesetzt, dass die anordnung regelmäßig sei!!
es gilt:
f = H (hexagon=H), e = H * 6 / 2, v = unbestimmbar für unregelmäßige verteilungen,
z.B.: mache einen querschnitt durch den ball, dann hast du einen kreis. auf diesen kreis machst du ein sechseck. dann hast du auf dem ball 6 ecken - 6 kanten+ 2 sechseckflächen = 2.
dies ist sogar noch relativ regelmäßig, falls der querschnitts-kreis den mittelpunkt des balles enthält. dabei gilt aber dann: v = H * 6 / 2 statt H * 6 / 3, weil ja nur noch 2 sechsecke in einer ecke zusammenstoßen.
das mit den kanten stimmt aber noch. daher kann man folgendes rechnen:
v := H * 6 / x , wobei x= anzahl der sechsecke in den ecken (unter der annahme, dass in jeder ecke gleich viele zusammentreffen, sonst ist es lokal unterschiedlich, also unberechenbar), zudem f=H und e=H * 6 / 2 = 3H
dann ergibt sich H (6/x-3+1)=2 und das ist äquivalent zu H (3/x-1)=1
daran sehen wir, dass im falle H=2 (mein beispiel) der inhalt der klammer 1/2 ergeben muss, also x=2 sein muss, sprich: "2 sechsecke stoßen in einer ecke zusammen".
schreibt man also vor, wieviele sich treffen sollen, so folgt H = x/(3-x) und damit folgt, dass mein konstruiertes beispiel das einzige ist, welches eine regelmäßige anordnung erlaubt.
machen wir das zum spaß noch für fünfecke, dann folgt P = 4x / (10-3x)
für x=1 ist P ein bruch, also keine lösung vorhanden, für x=2 ist wieder 8/4=2=P, wie bei H auch. für x=3 erhält man hier allerdings eine weitere lösung, nämlich 12!!!
wenn du schonmal einen megaminx gesehen hast... das ist genau diese anordnung.
http://de.wikipedia.org/wiki/Megaminx
mehr gibt es auch hier nicht (sonst kömen negative zahlen heraus)
Nein, hier handelt es sich um die Eulercharacteric, die eine topologische Invariante des betrachteten Objektes ist, in diesem Falle die 2-Sphäre. Topologische Invarianz impliziert auch Unabhängigkeit von der Wahl der Parkettierung der (hier:) Mannigfaltigkeit.
Eine Kugel ist definiert als dasjenige Objekt, das von einer Sphäre berandet wird und, aufegfasst als Teilmenge eines reellen Raumes, ein finites Volumen aufweist. Damit ist die Kugel eindeutig definiert.
Ich empfehle dir den Artikel von Kotschick, Dieter: Mathematik und Fußball. Der hat so was mal untersucht.
VG, dongodongo.