Frage von Ephisto, 100

Vielfaches voneinander, Vektorrechnung?

Ich bin gerade bei der Bestimmung von Geraden zueinander und da fängt man ja wie üblich bei der Frage an, ob die beiden Richtungsvektoren vielfaches von einander sind. Nur komme ich da immer durcheinander ist 2 ein vielfaches von 3 oder nicht. Ich weiß nie genau ob es so ist oder eben nicht, habt ihr irgendwelche Tricks?

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, 59

Die "Vielfaches von"-Eigenschaft bezieht sich auf Vektoren nicht auf einzelne Zahlen, sondern auf die gesamten Vektoren. Zahlen in dem Sinne sind immer Vielfache voneinander (außer, dass keine andere Zahl ein Vielfaches von 0 ist).

Die Quotienten entsprechender Koordinaten müssen gleich sein (oder beide Koordinaten 0).

Beispiel (zum Platzsparen in Zeilenschreibweise):

a = (3, 5, 7);  b = (6, 10, 14)

hier sieht man sofort, dass die 1. Koordinate von b doppelt so groß ist wie die 1. Koordinate von a, ebenso die 2. Koordinate von b doppelt so groß wie die 2. Koordinate von a, und ebenso für die 3. Koordinaten. Diese Vektoren sind also parallel.

Weiteres Beispiel:

a = (4, 0, 6);  b = (6, 0, 9)

Hier ist der Quotient der 1. Koordinaten von b und a 6/4 = 3/2, die 2. Koordinaten sind beide 0, der Quotient der 3. Koordinaten 9/6 = 3/2. Also sind diese Vektoren auch parallel.

Weiter:

a = (2, 3, 4);  b = (0, 0, 0)

Die Quotienten sind hier alle 0, also nennt man diese beiden Vektoren ebenfalls parallel (weil es insgesamt weniger Schreibarbeit bedeutet). Aber b ist kein geeigneter Richtungsvektor - diese müssen eine eindeutig bestimmte Richtung haben, und die hat der Nullvektor nicht.

Weiter:

a = (2 * pi, b = 0, c = 4 * e); b = (3 * pi, b = 0, c = 6 * e)

Dass hier die reellen Zahlen pi und e drin stehen, spielt keine Rolle bei der Bildung der Quotienten - diese Vektoren sind auch parallel.

Weiter:

a = (3, 0, 6);  b = (4, 0, 2)

Diese Vektoren sind nicht parallel, weil 4/3 ungleich 2/6 ist.

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 67

Hallo,

Richtungsvektoren, die eine Ebene aufspannen, sind voneinander linear unabhängig. Einer kann unmöglich das Vielfache des anderen sein.

Du kannst aber, wenn Du die Richtungsvektoren mit beliebigen Faktoren multiplizierst, jeden Punkt dieser Ebene als Summe von Vielfachen dieser Vektoren darstellen. Hast Du es mit einer Geraden zu tun, die nur einen Richtungsvektor besitzt, kannst Du ihm durch einen Faktor jede beliebige Länge geben und damit jeden Punkt auf der Geraden beschreiben.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von iokii, 38

Jede Zahl ist vielfaches von jeder anderen Zahl, wenn es um Vektoren geht (außer die 0).

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