Frage von paronda, 43

Vertiefung: Rechnen mit komplexen Zahlen?

Ich wäre echt dankbar, wenn mir jemand mit dieser Aufgabe helfen könnte:

[13/(5+12i)]-[(25+50i)/(-7+24i)]

Die Antwort lautet (-408/325)+(194/325)i

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathematik, 20

Der Trick vom Rationalmachen eines längeren Nenners war, wie du dich vielleicht erinnerst, die Anwendung des 3. Binomischen Gesetzes:

(a + b) (a - b) = a² - b²

Hier erweiterst du mit  (-7-24i)  zunächst ganz normal.
Dann setzt du   i²  = -1    , weil das eine Kernbeziehung der komplexen Zahlen ist. Anschließend multiplizierst du alles aus.

Wenn noch was unklar ist, schreib einen Kommentar.

Bedenke, dass nur der zweite eckig beklammerte Term ein Bruch ist.

Kommentar von paronda ,

Danke! aber was mache ich mit 13/(5+12i)
?

Kommentar von Volens ,

Pardon. 
Dass da auch ein Bruchstrich ist, hatte ich völlig übersehen.
Nun, Bruchrechnung ist Bruchrechnung. Du erweiterst den ersten Bruch eben mit
(5-12i)           Ergebnis im Nenner: 25 + 144  =  169  = 13² (Zufall!)

Aber es ist gar kein so großer Zufall, denn der andere Nenner ist auch eine reelle Quadratzahl (625). Es hat allerdings für die Aufgabe kaum Relevanz.

Nachher hast du ja zwei Brüche da stehen, deren Nenner reell sein müssen. Mit den beiden Nennern kannst du einen Hauptnenner bilden (wieder durch Erweitern, aber nur mit reellen Zahlen) und die ganze Chose subtrahieren.

Bruchrechnung unklar? Das Problem haben viele.

http://dieter-online.de.tl/Br.ue.che-1.htm

http://dieter-online.de.tl/Br.ue.che-2.htm


Kommentar von Volens ,

Da der ganze Nenner nachher 325 = 13 * 25 sein soll, werden die anderen beiden Faktoren auch noch aus den Zählern wieder herausgekürzt werden können.

Antwort
von xy121, 7

Na die letzten beiden Terme beachtet du erstmal nicht. Beim ersten musst du dividieren. Dazu brauchst du erstmal die konjugierte Transformation des Nenners. Einfach die Substitution mit -j ansetzen. Dann erweiterst du Nenner und Zähler mit der konjugierten Form. Dann Ausmultiplizieren und ggf. kürzen. Du erhältst danach das Ergebnis in der Normalform/kartesische Form. Die letzten beiden Terme einfach aufaddieren. Also Realteil+Imaginärteil.

Antwort
von gfntom, 25

Tipp: du bekommst das i im Nenner weg, wenn du mit der konjugiert komplexen Zahl erweiterst!

a/(b+i*c) = a* (b - i*c) / ((b+i * c) (b - i *c)) =

(a*b - i * a* c) / (b²-i²c²) = (a*b - i * a* c) / (b² + c²)


Antwort
von HanzeeDent, 18

13/(5+12i) - (25+50i)/(-7+24i)

13(5-12i)/(5^2-(12i)^2) - (25+50i)(7+24i)/((24i)^2-49)

(65-156i)/169 + (950i-1025)/625

(194i-408)/325

Kommentar von paronda ,

Wie kommst du von (65-156i)/169 + (950i-1025)/625 auf (194i-408)/325?

Kommentar von HanzeeDent ,

Über Kreuz multiplizieren:

625(65-156i)/105625 + 169(950i-1025)/105625

Dann kannst du den Term auf einen Bruchstrich schreiben und kürzen.

Kommentar von HanzeeDent ,

Oder du kürzt vorher schon, ist vermutlich einfacher

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community