Frage von maxim008, 60

Verstehe Gleichung mit Buchstaben nicht?

Hallo,

kann mir jemand bei x - (1/x) = a - (1/a) helfen? x soll die Lösungsvariable sein und die Lösungsmenge in Abhängigkeit von a (mit a, x ungleich 0)

Ich bin bis jetzt nur so weit gekommen:

x - (1/x) = a - (1/a) | + (1/x) ; -a

x - a = -(1/a) + (1/x)

Hauptnenner: ax

x - a = -(x/ax) + (a/ax)

x - a = (-x+a)/(ax) | *ax

x²a - a²x = -x + a | +x ; -a

x²a - a²x + x - a = 0

Weiter weiß ich auch nicht weiter. Hoffe ihr könnt mir helfen :)

Antwort
von Zwieferl, 5

Einfach "stur" weiterrechnen:

  • Die Gleichung ordnen: a·x² - (a²-1)·x - a = 0
  • in (hoffentlich) bekannte Formel einsetzen: x = ((a²-1)∓√((a²-1)²+4·a²))/2a → ausrechnen → x₁=a; x₂= -1/a
Antwort
von Gaius99, 46

Mit der Mitternachtsformel (bzw. pq-Formel) wird es weitergehen. Die Koeffizienten sind dann halt mal nicht einfach Zahlen, sondern a, -a^2 und 0.

Hoffe, konnte dir helfen und lg, Gaius

Kommentar von maxim008 ,

Das Problem ist, dass das x 3 mal vertreten ist. Habs in der letzten Zeile vergessen aufzuschreiben: x²a - a²x + x - a = 0

Da habe ich keine ahnung, wie ich es nun lösen soll

Kommentar von Gaius99 ,

-a^2x+x kann man zusammenfassen zu x(1-a^2)

Ansonsten habe ich's einfach mal bei Wolfram Alpha eingegeben:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=ax%5E2%2B%281-a%5E2%29x-a%3D0

Dort wird die Gleichung durch Faktorisieren gelöst.

Antwort
von Melvissimo, 35

Hat sich erledigt; ich schreib eine bessere Antwort in den Kommentar.

Kommentar von maxim008 ,

In der letzten Zeile ist doch noch ein -a. wie soll man das denn mit x ausklammern können?

Kommentar von Melvissimo ,

Du machst es dir etwas komplizierter als notwendig. Du könntest von hier aus natürlich die Nullstellen mithilfe der Mitternachtsformel berechnen. Beachte nämlich, dass

x²a - a²x + x - a = ax² + (1 - a²)x - a gilt.

Aber gehen wir doch stattdessen ein paar Schritte zurück:

x - a = (-x+a)/(ax)

Hier könntest du auf der rechten Seite ein Minuszeichen ausklammern:

x - a = -(x - a) / (ax).

Falls x = a ist, stimmt die Gleichung offensichtlich (d.h. x = a ist eine Lösung). 

Falls x nicht gleich a ist, kannst du durch x - a dividieren und erhältst:

1 = - 1/(ax). Und diese Gleichung kannst du leicht nach x auflösen.

Kommentar von maxim008 ,

Ich verstehe jetzt bloß nicht, wie du auf x=0 kommst. Also Minus ausklammern kann ich noch nachvollziehen, aber weiter nicht mehr

Kommentar von Melvissimo ,

Ich habe nicht behauptet, dass x = 0 sein soll.

Ich habe folgende Beobachtung gemacht:

(x - a) = - (x - a) / (ax).

Da in den Zählern auf beiden Seiten ein (x - a) steht, wollte ich die Gleichung gerne dadurch teilen.

Leider geht das nur, wenn (x - a) nicht 0 ist, also falls x nicht dasselbe wie a ist.

Also hab ich den Fall x = a einzeln behandelt (d.h. a für x in die Gleichung eingesetzt) und herausgefunden, dass x = a tatsächlich eine Lösung ist.

Danach habe ich angenommen, dass x nicht gleich a ist und durfte damit endlich durch (x - a) teilen:

(x - a) = -(x - a) / (ax)  | : (x - a)

1 = -1 / (ax).

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